مجموعه فشرده

در آنالیز ریاضی مجموعه‌ای که هر پوشش آن یک زیر پوشش متناهی داشته باشد مجموعه‌ای فشرده (=جمع و جور) خوانده می‌شود. از تبعات آن این است که زیر مجموعه‌ای از فضای اقلیدسی ‎$\mathbb{R}$ⁿ که بسته و کراندار باشد، فشرده است. مثلاً در $\mathbb{R}$ فاصلهٔ یکهٔ بستهٔ [0,1] فشرده است، اما مجموعهٔ اعداد صحیح $\mathbb{Z}$ این طور نیست (زیرا کراندار نیست) و بازهٔ نیمه باز [0, 1) نیز همینطور (زیرا بسته نیست). یک روش جدیدتر این است که یک فضای توپولوژیکی را فشرده بنامیم اگر که هر پوشش باز آن یک زیر پوشش متناهی داشته باشد. قضیهٔ هاینه-بورل نشان می‌دهد این تعریف معادل است با زیر «بسته و کراندار» برای زیر مجموعه‌های فضای اقلیدسی.

تاریخچه و ایجاد انگیزه

اصطلاح فشرده در سال 1906 به‌وسیله Frechet معرفی گردیده است. از دیرباز تشخیص داده شده که ویژگیهایي نظیر فشردگی برای اثبات بسیاری از قضایا لازم و ضروریست.«فشرده» به معنی «متوالیا فشرده» می‌بوده است (هر دنباله یک زیر دنبالهٔ همگرا دارد). این زمانی بود که فضاهای متریک مورد بررسی قرار گرفت. تعریف «پوشش فشرده» کاربرد گسترده تری پیدا کرد، زیرا به ما امکان ارزیابی کلی فضاهای توپولوژیکی را می‌دهد، و بسیاری از نتایج قدیمی در مورد فضاهای متریک با این زمینه کلیت پیدا می‌کند. این کلیت بخشی به طور خاص در بررسی و تحقیق پیرامون فضاهای تابعی مفید و سودمند است. یکی از مهم‌ترین دلایل تحقیق پیرامون فضاهای فشرده آنستکه در بسیاری موارد شبیه مجموعه‌های متناهی می‌باشند. بعبارت دیگر نتایج بسیاری وجود دارند که به راحتی برای مجموعه‌های متناهی نشان داده می‌شوند، و اثبات بسیاری از آنها با انجام حداقل تغییرات برای فضاهای فشرده به کار برده می‌شوند.

تعاریف

فشردگی زیر مجموعه‌های ‎$\mathbb{R}$ⁿ

برای هر زیر مجموعه از فضای اقلیدسی ‎$\mathbb{R}$ⁿ چهار شرط زیر معادلند :

• هر پوشش باز دارای یک زیرپوشش متناهی است. این معمولترین تعریفی است که استفاده می‌شود.
• هر دنباله در مجموعه دارای یک زیر دنبالهٔ همگراست، نقطه حدی‌ای که به مجموعه تعلق دارد.
• هر زیر مجموعهٔ نامتناهی از مجموعه یک نقطهٔ تجمع در مجموعه دارد.
• مجموعه بسته یا کراندار است. این شرطی است که به راحتی می‌توان بررسی کرد، به‌عنوان مثال بازهٔ بسته.

در فضاهای دیگر ممکن است این شرایط با توجه به خواص فضا معدل باشند یا نباشند.

مثالهایی از فضاهای فشرده

• مجموعهٔ تهی
• بازهٔ یکهٔ بستهٔ [0, 1] فشرده است (ولی بازهٔ نیمه باز [0, 1) نه)

قضایا

برخی قضایای مرتبط با فشردگی:

• یک تصویر پیوسته از یک فضای فشرده، فشرده است.
• قضیهٔ مقدار نهایی: یک تابع پیوستهٔ حقیقی روی یک فضای فشرده کراندار است و مقدار ماکزیمم خود را می‌گیرد.
• یک زیرمجموعهٔ بسته از یک فضای فشرده، فشرده است.
• یک مجموعهٔ فشردهٔ ناتهی از اعداد حقیقی بزرگ‌ترین عضو و کوچک‌ترین عضو دارد.
• یک زیرمجموعه از فضای اقلیدسی n-بعدی فشرده است اگر و تنها اگر بسته و کراندار باشد.(قضیهٔ هاینه-بورل)