اتحاد (جبر)

«اتحاد» تغییر مسیری به این صفحه است. برای کاربردهای دیگر اتحاد (ابهام‌زدایی) را ببینید.

اتحاد یک گزاره ریاضی همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیتهای جبری در ریاضی بکار می‌رود.

تعریفی دیگر

معادله ای که به ازای هر عدد حقیقی برقرار باشد اتحاد نامیده می شود.

کاربرد اتحاد

• ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند۱۰۱^۲
• تجزیه عبارات گویا که خود در ب.م.م گیری و ک.م.م گیری کاربرد دارد.
• تجزیه عبارات گویا برای حل معادلات درجه ی سه و چهار و بیشتر نیز کاربرد دارد.

انواع اتحاد

اتحادها بسیار زیاد هستند اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند بدین قرارند:

مربع دو جمله ای

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\,\!$

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab \,\!$

مربع سه جمله‌ای

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \,\!$

مکعب مجموع دو جمله

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,\!$

مزدوج

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2 \,\!$

اتحاد جمله مشترک

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \,\!$

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله (چاق و لاغر)

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 \,\!$

$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \,\!$

اویلر(اولر)

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=a^3+b^3+c^3-3abc \,\!$

اتحاد لاگرانژ

$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2 \,\!$

نیوتونی

$(a+b)^n=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\dots+\binom{n}{n}a^0b^n$