از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
یک رسته در ریاضیات ، ساختاری جبری است که در آن سازههای ریاضی و روابط میان آنها به صورت مجرد بررسی میشود. در یک رده، سازهها یا اشیاء و پیکانهای میان آنها مستقل از اینکه اشیاء چه هستند مورد بررسی قرار میگیرد.
یک رده
C
{\displaystyle C}
عبارت است از:
یک کلاس
O
b
(
C
)
{\displaystyle Ob(C)}
از اشیاء یا سازهها،
یک کلاس
h
o
m
(
C
)
{\displaystyle hom(C)}
یا
m
o
r
(
C
)
{\displaystyle mor(C)}
از پیکانها یا ریختارها (یا مورفیسمها). یک عضو
f
∈
h
o
m
(
C
)
{\displaystyle f\in hom(C)}
عبارت است از یک پیکان
f
:
a
→
b
{\displaystyle f:a\to b}
برای دو سازه
a
,
b
∈
O
b
(
C
)
{\displaystyle a,b\in Ob(C)}
. نویسه
h
o
m
(
a
,
b
)
{\displaystyle hom(a,b)}
نمایانگر کلاس پیکانهای میان دو شی
a
{\displaystyle a}
و
b
{\displaystyle b}
است.
یک عمل دوتایی
∘
{\displaystyle \circ }
روی
h
o
m
(
C
)
{\displaystyle hom(C)}
که به آن ترکیب میگوییم. به گونه ایکه برای هر سه سازه
a
,
b
,
c
∈
O
b
(
C
)
{\displaystyle a,b,c\in Ob(C)}
داریم
∘
:
h
o
m
(
b
,
c
)
×
h
o
m
(
a
,
b
)
→
h
o
m
(
a
,
c
)
{\displaystyle \circ :hom(b,c)\times hom(a,b)\to hom(a,c)}
و این عمل خواص زیر را دارد:
۱. شرکت پذیری : اگر
g
:
b
→
c
{\displaystyle g:b\to c}
،
f
:
a
→
b
{\displaystyle f:a\to b}
و
h
:
c
→
d
{\displaystyle h:c\to d}
آنگاه:
h
∘
(
g
∘
f
)
=
(
h
∘
g
)
∘
f
{\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}
۲. همانی : برای هر
x
∈
O
b
(
C
)
{\displaystyle x\in Ob(C)}
، یک پیکان
1
x
:
x
→
x
{\displaystyle 1_{x}:x\to x}
به نام ریختار همانی موجود است که: برای هر ریختار
f
:
a
→
b
{\displaystyle f:a\to b}
داریم:
1
b
∘
f
=
f
=
f
∘
1
a
{\displaystyle 1_{b}\circ f=f=f\circ 1_{a}}
.
برای آسانی در نوشتار معمولاً نویسه
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
را به صورت
f
g
{\displaystyle fg}
خلاصه میکنیم.
رده
S
e
t
{\displaystyle Set}
که سازههای آن مجموعهها و پیکانهای آن تابعهای میان مجموعهها هستند. به زبان دیگر:
S
∈
S
e
t
{\displaystyle S\in Set}
یک مجموعه و
f
∈
h
o
m
(
S
,
T
)
{\displaystyle f\in hom(S,T)}
یک تابع از مجموعه
S
{\displaystyle S}
به مجموعه
T
{\displaystyle T}
است.
رده
G
r
{\displaystyle Gr}
که سازهها یا اشیاء آن گروهها و پیکانهای یا ریختارهای آن همریختیهای گروهی هستند. به زبان دیگر:
G
∈
G
r
{\displaystyle G\in Gr}
یک گروه و
f
∈
h
o
m
(
G
,
H
)
{\displaystyle f\in hom(G,H)}
یک همریختی گروهی
f
:
G
→
H
{\displaystyle f:G\to H}
است.
رده
R
i
n
g
{\displaystyle Ring}
که سازهها یا اشیاء آن حلقهها و پیکانهای یا ریختارهای آن همریختیهای حلقهای هستند. به زبان دیگر:
R
∈
R
i
n
g
{\displaystyle R\in Ring}
یک حلقه و
f
∈
h
o
m
(
R
,
S
)
{\displaystyle f\in hom(R,S)}
یک همریختی حلقهای
f
:
R
→
S
{\displaystyle f:R\to S}
است.
رده
T
o
p
{\displaystyle Top}
که سازههای آن فضاهای توپولوژیک و پیکانها، تابعهای پیوسته میان فضاهای توپولوژیک میباشند.
گونههای ریختارها [ ویرایش ]
یک ریختار (یا پیکان)
f
:
a
→
b
{\displaystyle f:a\to b}
را:
یک به یک گوییم اگر از
f
g
1
=
f
g
2
{\displaystyle fg_{1}=fg_{2}}
برای همه ریختارهای
g
1
,
g
2
:
x
→
a
{\displaystyle g_{1},g_{2}:x\to a}
نتیجه شود:
g
1
=
g
2
{\displaystyle g_{1}=g_{2}}
.
پوشا گوییم اگر از
g
1
f
=
g
2
f
{\displaystyle g_{1}f=g_{2}f}
برای همه ریختارهای
g
1
,
g
2
:
b
→
x
{\displaystyle g_{1},g_{2}:b\to x}
نتیجه شود:
g
1
=
g
2
{\displaystyle g_{1}=g_{2}}
.
دوسو گوییم اگر یک به یک و پوشا باشد.
یکریختی گوییم اگر دارای وارون باشد یعنی یک ریختار
g
:
b
→
a
{\displaystyle g:b\to a}
وجود داشته باشد که:
f
g
=
1
b
{\displaystyle fg=1_{b}}
و
g
f
=
1
a
{\displaystyle gf=1_{a}}
.
جستارهای وابسته [ ویرایش ]
Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.), Springer-Verlag,
J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker: Abstract and concrete categories. The Joy of Cats. John Wiley, 1990.
مفاهیم کلیدی n-رستهها
مفاهیم رسته سازی