پیوستگی توپولوژیک

مفهوم فوق در نمایش هندسی

فرض می‌کنیم $(X,T)$ و $(Y,U)$ دو فضای توپولوژیک دلخواه باشند:

تابع $f:X\to Y$ در نقطهٔ $x$ واقع در $X$ را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعه باز شامل $f(x)$ مانند $B_{Y}$، مجموعهٔ بازی مانند $B_{X}$ شامل $x$ وجود داشته باشد به طوری که $f[B_{X}]$ زیر مجموعهٔ $B_{Y}$ باشد.

به همین ترتیب می‌گوییم تابع $f:X\to Y$ در مجموعهٔ $A$ واقع در $X$ پیوسته است درصورتی که در تمام نقاط $A$ پیوسته باشد.

قضیه : تابع $f:X\to Y$ در $X$ پیوسته است اگر و تنها اگر به ازای هر زیر مجموعه باز در $Y$ مانند $B_{Y}$، مجموعه ی$f[B_{Y}]^{-1}$ زیر مجموعهٔ باز $X$ باشد.

به طور خلاصه : فرض کنید X و Y دو فضای توپولوژیکی هستند. یک تابع بین X و Y را پیوسته می‌گوییم اگر x، تصویر معکوس مجموعه باز y در Y، یک مجموعهٔ باز در X باشد. در واقع نشان می‌دهیم که هیچ شکستگی یا انفصال در تابع وجود ندارد.