گروه آبلی

گروه آبلی یا گروه جابجایی‌پذیر یا گروه جابجایی، در ریاضیات، به مجموعه ای مانند G می‌گویند که دارای عملگری مانند * باشد و این عملگر در مجموعه G دارای خاصیت جابجایی باشد، یعنی برای هر a و b در G داشته باشیم: a * b = b * a در این صورت می‌گوییم (*،G) «گروه آبلی» است.

تعریف

گروه آبلی شامل مجموعه‌ای مانند A و عملگر دوتایی مانند «•» است بگونه‌ای که (A،•) دارای ویژگی‌های زیر باشد:

• بسته بودن: برای هر a و b در A، حاصل a•b در A باشد.
• شرکت پذیری: برای هر a،b،c در A داشته باشیم:.a •(b • c)=(a • b) • c
• جابجایی: برای هر a و b در A، باید a •b =b • a
• وجود عنصر همانی: یک e∈A وجود دارد بطوریکه برای هر a ∈ A، داشته باشیم a • e = e • a = a.
• وجود عنصر عکس: برای هر a∈A، یک b∈A وجود دارد که a • b = b • a = e.(e همان عنصر همانی است.)

مثال

مجموعه‌ی همه‌ی ماتریس های m*n با درآیه‌های حقیقی تحت عمل جمع یک گروه آبلی است. ماتریس‌های مربعی تحت عمل ضربِ ماتریس‌ها روی R یک گروه آبلی است.