مدول (ریاضیات)

در ریاضیات، مدول یک ساختار بنیادی ریاضیاتی است که در جبر مجرد از آن استفاده می شود. یک مدول بر روی یک حلقه تعمیمی از مفهوم فضای برداری بر روی یک میدان است، که در آن اسکالر ها عضوی از یک حلقه هستند (حلقه یک دار) و ضرب (از چپ و/یا از راست) بین عناصر حلقه و عناصر مدول تعریف می شود. مدولی که اسکالر های خود را از یک حلقه مثل R انتخاب می کند را یک R-مدول گویند.

لذا یک مدول مانند یک فضای برداری است که تحت جمع گروه آبلی می باشد، ضرب بین عناصر حلقه و مدول تعریف شده که بر روی جمع توزیع می شود (خاصیت توزیع پذیری) و باید با ضرب حلقه سازگاری داشته باشد.

مدول ها با نمایش گروه ها ارتباط نزدیکی دارند. آن ها یکی از مفاهیم مرکزی جبر جابجایی و جبر همولوژی بوده و به طور گسترده در هندسه جبری و توپولوژی جبری استفاده می شوند.

معرفی و تعریف

انگیزش

در یک فضای برداری، مجموعه اسکالرها تشکیل یک میدان داده و توسط ضرب اسکالری بر روی بردارها کنش انجام می دهند، این کنش تحت اصول موضوعه هایی چون قانون توزیع رفتار می کند. در یک مدول، تنها نیاز است که اسکالرها ساختار حلقه ای داشته باشند، بنابر این یک مدول نمایشگر تعمیم عمده ای از فضاهای برداریست. در جبر جابجایی، هم ایده‌آل ها و هم حلقه های خارج قسمتی مدول هستند، بنابراین بسیاری از استدلالات در مورد ایده‌آل ها و حلقه های خارج قسمتی را می توان با هم ترکیب کرده و از دیدگاه مدولی یکی کرد. در جبر ناجابجایی تمایز بین ایده‌آل‌های چپ، ایده‌آل‌ها و مدول ها شدت می یابد، گرچه در آن صورت هم برخی از شرایط نظریه حلقه ای را می توان برای ایده‌آل چپ یا مدول چپ نیز بیان کرد.

در بخش عمده ای از نظریه مدول‌ها، تلاش می شود تا در حد امکان، بسیاری از خواص مطلوب فضاهای برداری به مدول‌هایی که بر روی حلقه‌های "خوش رفتار" مثل حوزه ایده آل اصلی تعریف شده اند، توسعه پیدا کند. با این حال، مدول ها می توانند بسیار پیچیده تر از فضاهای برداری باشند؛ به عنوان مثال، تمام مدول ها پایه ندارند، و حتی آن ها که پایه دارند، یعنی مدول‌های آزاد، در صورتی که حلقه زمینه‌شان شرط ناوردا بودن عدد پایه را ارضاء نکنند، الزامی به داشتن یک رتبه واحد ندارند، در حالی که فضاهای برداری اینگونه نیستند و همیشه پایه دارند (ممکن است این پایه بی نهایت عضوی باشد) و کاردینال این پایه همیشه یکتاست (دو خاصیت اخیر در حالت کلی نیازمند اصل انتخاب اند، اما در حالت فضاهای متناهی بعدی یا فضاهای خوش-رفتار بی نهایت بعدی مثل فضاهای $L^{p}$ به اصل انتخاب نیازی نیست.).

تعریف صوری

فرض کنید $R$ یک حلقه باشد و $1_{R}$ همانی ضربی اش. یک $R$-مدول چپ $M$ شامل گروه آبلی $(M,+)$ و یک عملگر $\cdot \colon R\times M\rightarrow M$ است به گونه ای که برای تمام $r,s$، در $R$ و $x,y$ در $M$ داریم:

1. $r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$
2. $(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$
3. $(rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$
4. $1_{R}\cdot x=x$

عمل حلقه بر روی M را ضرب اسکالر گویند، و اغلب آن را به صورت rx کنار هم می نویسند که r در R و x در M قرار دارد. در اینجا ما این ضرب را به صورت r.x می نویسیم تا آن را از ضرب حلقه ای متمایز کنیم. نمادگذاری _RM نشان دهنده ی یک R-مدول چپ است. یک R-مدول راست M یا M_R نیز به طور مشابه تعریف شده، به جز این که حلقه از سمت راست بر روی آن عمل می کند؛ یعنی، ضرب اسکالر در آن به شکل ⋅ : M × R → M است و اصول موضوعه ی فوق به گونه ای نوشته می شوند که اسکالر های r و s در سمت راست x و y قرار می گیرند.

مؤلفانی که وجود عضو همانی حلقه را الزامی نمی دانند، شرط ۴ را از شرایط فوق حذف کرده، و ساختار حاصل را "R-مدول چپ یک دار" می نامند. در این مقاله، تمام حلقه ها و مدول ها را یک دار فرض می کنیم، که سازگار با واژه نامه نظریه حلقه های ویکیپدیا می باشد.

یک دومدول (به انگلیسی: bimodule)، مدولی است که همزمان هم R-مدول چپ، و هم R-مدول راست باشد، به گونه ای که ضرب های چپ و راست با هم سازگار باشند.

اگر R جابجایی باشد، آنگاه R-مدول های چپ با R مدول های راست یکی می شوند و برای راحتی کار به هر دو R-مدول می گویند.

منابع

• F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, شابک ‎۰−۳۸۷−۹۷۸۴۵−۳, شابک ‎۳−۵۴۰−۹۷۸۴۵−۳
• Nathan Jacobson. Structure of rings. Colloquium publications, Vol. 37, 2nd Ed., AMS Bookstore, 1964, شابک ‎۹۷۸−۰−۸۲۱۸−۱۰۳۷−۸

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Module (mathematics)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۰ آگوست ۲۰۱۹.