فهرست انتگرال‌های توابع گوسی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در این عبارت‌ها، \phi(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2} توزیع نرمال تابع چگالی احتمال است و \textstyle \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \phi(t)dt = \frac12\big(1 + \operatorname{erf}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big)\big) تابع توزیع تجمعی مربوط به آن است که در آن erf، تابع خطا و  T(h,a) = \phi(h)\int_0^a 
\frac{\phi(hx)}{1+x^2} \, dx می‌باشد.

در پایین چند نمونه انتگرال آمده است:

انتگرال‌های نامعین[ویرایش]

 \int \phi(x) \, dx             = \Phi(x) + C
 \int x \phi(x) \, dx           = -\phi(x) + C
 \int x^2 \phi(x) \, dx         = \Phi(x) - x\phi(x) + C
 \int x^{2k+1} \phi(x) \, dx    = -\phi(x) \sum_{j=0}^k \frac{(2k)!!}{(2j)!!}x^{2j} + C [nb ۱]
 \int x^{2k+2} \phi(x) \, dx    = -\phi(x)\sum_{j=0}^k\frac{(2k+1)!!}{(2j+1)!!}x^{2j+1} + (2k+1)!!\,\Phi(x) + C
(در این انتگرال‌ها، n!! همان دابل فاکتوریل است یعنی: برای nهای زوج برابر است با حاصل ضرب 2 تا n و برای nهای فرد برابر است با حاصل ضرب 1 تا n همچنین فرض می‌شود که 0!! = (−1)!! = 1)
 \int \phi(x)^2 \, dx           = \tfrac{1}{2\sqrt{\pi}} \Phi(x\sqrt{2}) + C
 \int \phi(x)\phi(a + bx) \, dx = \tfrac{1}{t}\phi(a/t)\Phi(tx + ab/t) + C, \quad t = \sqrt{1+b^2} [nb ۲]
 \int x\phi(a+bx) \, dx         = -\tfrac{1}{b^2}\phi(a+bx) - \tfrac{a}{b^2}\Phi(a+bx) + C
 \int x^2\phi(a+bx) \, dx       = \tfrac{a^2+1}{b^3}\Phi(a+bx) + \frac{a-bx}{b^3}\phi(a+bx) + C
 \int \phi(a+bx)^n \, dx        = \frac{(2\pi)^{-(n-1)/2}}{b\sqrt{n}} \Phi\big(\sqrt{n}(a+bx)\big) + C
 \int \Phi(a+bx) \, dx          = \tfrac{1}{b}(a+bx)\Phi(a+bx) + \tfrac{1}{b}\phi(a+bx) + C
 \int x\Phi(a+bx) \, dx         = \tfrac{1}{2b^2}\big((b^2x^2 - a^2 - 1)\Phi(a+bx) + (bx-a)\phi(a+bx)\big) + C
 \int x^2\Phi(a+bx) \, dx       = \tfrac{1}{3b^3}\big((b^3x^3 + a^3 + 3a)\Phi(a+bx) + (b^2x^2-abx+a^2+2)\phi(a+bx)\big) + C
 \int x^n \Phi(x) \, dx         = \tfrac{1}{n+1}\Big( (x^{n+1}-nx^{n-1})\Phi(x) + x^n\phi(x) + n(n-1)\int x^{n-2}\Phi(x)\,dx \Big) + C
 \int x\phi(x)\Phi(a+bx) \, dx  = \tfrac{b}{t}\phi(a/t)\Phi(xt + ab/t) - \phi(x)\Phi(a+bx) + C, \quad t = \sqrt{1+b^2}
 \int \Phi(x)^2 \, dx           = x \Phi(x)^2 + 2\Phi(x)\phi(x) - \tfrac{1}{\sqrt{\pi}}\Phi(x\sqrt{2}) + C
 \int e^{cx}\phi(bx)^n \, dx = \frac{1}{b\sqrt{n(2\pi)^{n-1}}}e^{c^2/(2nb^2)}\Phi(bx\sqrt{n} - \tfrac{c}{b\sqrt{n}}) + C, \quad b\ne0, n>0

انتگرال‌های معین[ویرایش]

 \int_{-\infty}^\infty x^2\phi(x)^n \,  \, dx = \Big(n^{3/2}(2\pi)^{(n-1)/2}\Big)^{-1}
\int_{-\infty}^0 \phi(ax)\Phi(bx)dx = (2\pi a)^{-1}\arctan(a/b)
\int_0^{\infty} \phi(ax)\Phi(bx) \, dx = (2\pi a)^{-1}\big(\tfrac{\pi}{2} - \arctan(b/a)\big)
 \int_0^\infty x\phi(x)\Phi(bx) \, dx = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \bigg( 1 + \frac{b}{\sqrt{1+b^2}} \bigg)
 \int_0^\infty x^2\phi(x)\Phi(bx) \, dx = \frac14 + \frac{1}{2\pi}\bigg( \frac{b}{1+b^2} + \arctan b \bigg)
 \int x \phi(x)^2\Phi(x) \, dx = \frac{1}{4\pi\sqrt{3}}
 \int_0^\infty \Phi(bx)^2 \phi(x) \, dx = (2\pi)^{-1}\big( \arctan b + \arctan \sqrt{1+2b^2} \big)
 \int_{-\infty}^\infty \Phi(a+bx)^2 \phi(x) \,dx = \Phi\bigg( \frac{a}{\sqrt{1+b^2}} \bigg)-
2T\bigg( \frac{a}{\sqrt{1+b^2}}, \frac{1}{\sqrt{1+2b^2}} \bigg)
 \int_{-\infty}^{\infty} x \Phi(a+bx)^2 \phi(x) \,dx = \frac{2b}{\sqrt{1+b^2}} \phi(a/t)
\Phi\bigg( \frac{a}{\sqrt{1+b^2}\sqrt{1+2b^2}}\bigg) [nb ۳]
 \int_{-\infty}^\infty \Phi(bx)^2 \phi(x) \, dx = \pi^{-1}\arctan \sqrt{1+2b^2}
 \int_{-\infty}^\infty x\phi(x)\Phi(bx) \, dx = \int_{-\infty}^\infty x\phi(x)\Phi(bx)^2 \, dx = \frac{b}{\sqrt{2\pi(1+b^2)}}
 \int_{-\infty}^\infty \Phi(a+bx)\phi(x) \, dx = \Phi\big(a/\sqrt{1+b^2}\big)
 \int_{-\infty}^\infty x\Phi(a+bx)\phi(x) \, dx = (b/t)\phi(a/t), \quad t = \sqrt{1+b^2}
 \int_0^\infty x\Phi(a+bx)\phi(x) \, dx = (b/t)\phi(a/t)\Phi(-ab/t) + (2\pi)^{-1/2}\Phi(a), \quad t = \sqrt{1+b^2}
 \int_{-\infty}^\infty \ln(x^2) \tfrac{1}{\sigma}\phi\big(\tfrac{x}{\sigma}\big) \, dx = \ln(\sigma^2) - \gamma - \ln 2 \approx \ln(\sigma^2) - 1.27036

منابع[ویرایش]

  • Patel, Jagdish K.; Read, Campbell B. (1996). Handbook of the normal distribution (2nd ed.). CRC Press. ISBN 0-8247-9342-0. 
  • Owen, D. (1980). "A table of normal integrals". Communications in Statistics: Simulation and Computation B9: pp. 389 - 419. 


خطای یادکرد: خطای یادکرد: برچسب <ref> برای گروهی به نام «nb» وجود دارد، اما برچسب <references group="nb"/> متناظر پیدا نشد.