توزیع بتا-دوجمله‌ای

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
{{{name}}}
پارامترها nعدد طبیعی — number of trials
\alpha > 0 (عدد حقیقی)
\beta > 0 (عدد حقیقی)
‫تکیه‌گاه k ∈ { 0, …, n }
تابع چگالی احتمال {n\choose k}\frac{\mathrm{B}(k+\alpha,n-k+\beta)} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف) 1- \tfrac{\mathrm{B}(\beta+n-k-1,\alpha+k+1)_3F_2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b};k)} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)\mathrm{B}(n-k,k+2) (n+1)}

where 3F2(a,b,k) is the generalized hypergeometric function
=3F2(1, α + k + 1, −n + k + 1; k + 2, −β − n + k + 2; 1)
میانگین \frac{n\alpha}{\alpha+\beta}\!
میانه
مُد
واریانس \frac{n\alpha\beta(\alpha+\beta+n)}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!
چولگی \tfrac{(\alpha+\beta+2n)(\beta-\alpha)}{(\alpha+\beta+2)}\sqrt{\tfrac{1+\alpha+\beta}{n\alpha\beta(n+\alpha+\beta)}}\!
کشیدگی See text
انتروپی
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف) _{2}F_{1}(-n,\alpha;\alpha+\beta;1-e^{t})\!
 \text{for } t<\log_e(2)
تابع مشخصه _{2}F_{1}(-n,\alpha;\alpha+\beta;1-e^{it})\!
\text{for } |t|<\log_e(2)
شکل ۱: چگالی احتمال.
شکل 2: توزیع تجمعی.

می توان تصور کرد که پارامتر  p در این توزیع از یک توزیع بتا بدست آمده است.


 \begin{align} L(k|n,p) & = \operatorname{Bin}(n,p) \\

                           & = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}
 \end{align}

که خود توزیع بتا دارای فرمول زیر است:


 \begin{align} \pi(p|\alpha,\beta) & = \mathrm{Beta}(\alpha,\beta) \\

                                        & = \frac{p^{\alpha-1} (1-p)^{\beta-1}}
                                                 {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}  
 \end{align}

حال می توان توزیع کلی را به صورت زیر نوشت:


 \begin{align}  f(k|n,\alpha,\beta) & = \int_0^1 L(k|p)\pi(p|\alpha, \beta) \, dp \\

                           & = {n\choose k}\frac{1}
                                    {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}
                               
                               \int_0^1 p^{k+\alpha-1}(1-p)^{n-k+\beta-1} \, dp \\
                           & = {n\choose k}\frac{\mathrm{B}(k+\alpha,n-k+\beta)} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}. 
 \end{align}

با استفاده از ویژگی های تابع بتا می توان رابطه ی فوق را به صورت زیر ساده کرد:


   f(k|n,\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)} \frac{\Gamma(k+\alpha)\Gamma(n-k+\beta)}{\Gamma(n+\alpha+\beta)} 
                         \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}.

توزیع های مرتبط[ویرایش]

همچنین ببینید[ویرایش]

منابع[ویرایش]

* Minka, Thomas P. (2003). Estimating a Dirichlet distribution. Microsoft Technical Report.

لینک های خارجی[ویرایش]