میدان (ریاضیات)

در ریاضیات و جبر مجرد، میدان به معنای ساختاری جبری است که در آن چهار عمل جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم (بجز تقسیم بر صفر) تعریف شده باشد و رفتار-عملکرد آنها مانند عملکرد آنها بر روی اعداد حقیقی هستند. این مفهموم در جبر و نظریه اعداد بسیار پرکاربرد است.

اعداد حقیقی و اعداد گویا از معروفترین میدان‌ها هستند. اعداد مختلط هم جزو میدان‌هایی است که نه تنها در ریاضیات بلکه در علم و مهندسی هم کاربرد بسیاری دارد.

در دنیای ریاضی میدان‌ها نقش بسیاره پایه‌ای ایفا می‌کنند. مهمترین کاربرد آنها در جبر است که در آن هر میدان می‌تواند کمیت نرده‌ای یا فضای برداری باشد. (موضوع مورد مطالعه ‌جبر خطی است.))

تعریف

به صورت کلی، میدان مجموعه‌ است همراه با دو تابع تعریف شده بر روی آن مجموعه: تابع جمع که بدین گونه نشان داده می‌شود a + b و تابع ضرب a ⋅ b که هر دوی آنها مشابه انگونه که در اعداد اعداد گویا و اعداد حقیقی رفتار می‌کنند. همچنین وجود وارون جمعی −a برای هر a و وارون ضربی b^-1 برای هر b غیر صفر مارا قادر می‌سازد تا مفاهیمی چون تفریق a − b و تقسیم a / b را تعریف کنیم:

a − b = a + (−b),

a / b = a · b⁻¹.

تعریف کلاسیک

بر اساس تعریف کلاسیک میدان مجموعه‌ است همراه با دو عملگر. عمل دوتایی یک پوشش است که هر دو عضو مجموعه را با یک عضو مجموعه مرتبط میسازد. خروجی جمع دو عضو a و b را به صورت a + b نشان می‌دهند و مجموع می‌نامند و نتیجه‌ی ضرب را به صروت ab یا a⋅b نشان می‌دهند. با توجه به تعریفات مطرح شده می‌توان شروط میدان‌ها را ذکر کرد. در شروط زیر a و b و c همگی اعضای مجموعه هستند:

• شرکت پذیری در جمع و ضرب a + (b + c) = (a + b) + c و a · (b · c) = (a · b) · c.
• خاصیت جابه‌جایی در جمع و ضرب: a + b = b + a and a · b = b · a.
• ۰ و ۱: دو عضو از مجموعه وجود داشته باشند بطوریکه به ازای هر a در عضو مجموعه داشته باشیم a + 0 = a and a · 1 = a.
• وارون جمعی: به ازای هر عضو a وجود دارد −a در مجموعه به طوریکه a + (−a) = 0 و به آن وارون جمعی گفته می‌شود.
• وارون ضربی: به ازای هر a ≠ 0 در مجموعه وجود داشته باشد a⁻¹, 1/a, یا 1/a بطوریکه که a · a⁻¹ = 1 و به آن وارون ضربی گفته می‌شود.
• توزیع‌پذیری ضرب بر روی جمع: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)