معادله مکعبی

معادله درجه سه بر روی نمودار

در ریاضیات، به معادلات جبری به شکل $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ با فرض $a\neq 0$ معادلهٔ درجهٔ سه گویند. راه‌های مختلفی برای حل معادلات درجهٔ سه وجود دارد. طبق قضیه آبل-روفینی، ریشهٔ توابع جبری تا درجهٔ ۴ (و نه بالاتر) همواره به صورت جبری، یعنی با فرمول‌هایی شامل ریشه‌های دوم و سوم، قابل یافتن است. همچنین می‌توان ریشه‌ها را به صورت مثلثاتی نیز محاسبه کرد. روش‌های عددی مانند روش نیوتن نیز برای یافتن ریشه‌ها کاربرد دارند.

تاریخچه

معادلات درجهٔ سوم در دوران یونان باستان توسط دیوفانت شناخته شده بود. پیش از آن، ریاضی‌دانان بابِل نیز توانستند برخی معادلات درجهٔ سوم را حل کنند. همچنین در مصر باستان مسئلهٔ تضعیف مکعب ساده‌ترین و قدیمی‌ترین معادلهٔ درجه سوم بود که مصریان حل آن را غیرممکن می‌دانستند. در قرن هفتم میلادی، منجم چین، وانگ سیائوتونگ (Wang Xiaotong)، توانست ۲۵ معادله درجهٔ سوم به فرم $x^{3}+px^{2}+qx=N$ استخراج و حل کند. در ۲۳ مورد، $p,q\neq 0$ و در دو مورد دیگر $q=0$ بود. در قرن یازدهم، خیام، ریاضی‌دان و شاعر ایرانی، به پیشرفت گسترده‌ای در نظریهٔ معادلات درجه سوم دست یافت. او نشان داد که یک معادلهٔ درجه سوم می‌تواند بیش از یک ریشه داشته باشد و برای برخی معادلات، راه‌حل هندسی با استفاده از مقاطع مخروطی ارائه کرد. خیام معادلات درجه سوم را در حالت کلی طبقه‌بندی و راه‌حل عمومی هندسی ارائه نمود. در قرن دوازدهم، ریاضی‌دان هندی بهاسکارا نیز برای یافتن جواب این معادلات تلاش کرد ولی به راه‌حل عمومی نرسید. همچنین، شرف‌الدین طوسی در کتاب المعادلات، ۸ نوع معادله با جواب مثبت و ۵ نوع بدون جواب مثبت را بررسی نمود و از روشی شبیه روش روفینی-هورنر برای حل عددی استفاده کرد.

ریشه‌های تابع درجه سوم

معادلهٔ درجه سوم به شکل کلی زیر است:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ با شرط $a\neq 0$.

نوع ریشه‌ها

با محاسبهٔ دیسکرمنانت

$\Delta =18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}$

می‌توان نوع ریشه‌ها را مشخص کرد:

• $\Delta >0$ : سه ریشهٔ حقیقی و مجزا.
• $\Delta =0$ : حداقل یک ریشهٔ مضاعف و همه ریشه‌ها حقیقی.
• $\Delta <0$ : یک ریشهٔ حقیقی و دو ریشهٔ مختلط مزدوج.

فرمول کلی ریشه‌ها

برای معادلهٔ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$، ریشه‌ها به صورت زیر بیان می‌شوند:

$x_{k}=-{\frac {1}{3a}}{\Big (}b+u_{k}C+{\frac {\Delta _{0}}{u_{k}C}}{\Big )},\quad k\in \{1,2,3\}$

که در آن

$u_{1}=1,\quad u_{2}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\quad u_{3}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}$

ریشه‌های واحد (مختلط) و

$C={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}+{\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}},$

$\Delta _{0}=b^{2}-3ac,\quad \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d$

$\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}=-27a^{2}\Delta$

است.

حل معادله درجه سه با روش مشتق‌گیری

در این روش ابتدا معادله را به فرم استاندارد زیر در می‌آوریم:

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$

مراحل حل به شرح زیر است:

1. تابع سمت چپ معادله را $y$ می‌نامیم و مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

$y(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c,\quad y''(x)=6x+2a$ ریشهٔ مشتق دوم را $x_{d}$ می‌نامیم: $x_{d}=-{\frac {a}{3}}$

1. مقادیر $y(x_{d})$ و $y'(x_{d})$ را محاسبه می‌کنیم:

$y_{d}=y(x_{d}),\quad y'_{d}=y'(x_{d})$

1. پارامترهای $v$ و $u$ را می‌یابیم:

$v=-{\frac {y_{d}}{2}},\quad u={\frac {y'_{d}}{3}}$

1. سپس ریشهٔ اول را با فرمول زیر به دست می‌آوریم:

$x_{1}=x_{d}+{\sqrt[{3}]{v+{\sqrt {v^{2}+u^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{v-{\sqrt {v^{2}+u^{3}}}}}$

1. پس از محاسبهٔ ریشهٔ اول، دو ریشهٔ دیگر را با تقسیم معادله بر $(x-x_{1})$ و حل معادلهٔ درجه دوم حاصل، پیدا می‌کنیم:

${\frac {y(x)}{x-x_{1}}}=0\Rightarrow x_{2},x_{3}$

منابع

• ویکی انگلیسی
• Van de Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, 1983
• Numerical Recipes in Fortran 77, William H. Press & William T. Vetterling, Cambridge University Press, 1992
• MacTutor History of Mathematics archive: Omar Khayyam