مدل تنگ‌بست

ساختار نواری GaitAs در مدل تنگ‌بست، که حفره‌های سنگین، سوراخ‌های سبک و سوراخ‌های تقسیم‌شده را نشان می‌دهد.

در فیزیک حالت جامد، مدل تنگ‌بست (یا تقریب بستگی قوی) رویکردی برای محاسبه ساختار نواری با استفاده از تقریب برهم‌نهی توابع موج اتم‌های منزوی در ساختار بلوری است. این مدل مشابه روش ترکیب خطی اوربیتال‌های اتمی است که در شیمی کاربرد دارد. مدل تنگ‌بست برای طیف گسترده‌ای از جامدات استفاده می شود. این مدل در بسیاری از موارد نتایج کیفی خوبی به همراه دارد و می‌تواند با مدل‌های دیگری ترکیب شود. اگرچه مدل تنگ‌بست یک مدل تک‌الکترونی است، اما این مدل همچنین مبنایی برای محاسبات پیشرفته‌تر مانند محاسبه حالت‌های سطح و انواع مختلفی از سیستم چندپیکره و محاسبات شبه ذرات را فراهم می‌کند.

مقدمه

نام «تنگ‌بست» در این نظریه نواری نشان دهنده بستگی قوی بین الکترون‌های این مدل مکانیک کوانتومی در جامدات است. الکترون‌ها در این مدل بسیار مقید به اتمی که به آن تعلق دارند میباشند و برهمکنش محدودی با حالت‌ها و پتانسیل‌های اتم‌های جامد دارند. در نتیجه، تابع موج الکترون تقریباً شبیه اوربیتال اتمی اتم آزادی خواهد بود که به آن تعلق دارد. انرژی الکترون نیز بسیار نزدیک به انرژی یونش الکترون در اتم یا یون آزاد خواهد بود زیرا برهمکنش با پتانسیل اتم‌های مجاور محدود است.

اگرچه فرمول ریاضی هامیلتونین مدل تنگ‌بست برای یک ذره ممکن است در نگاه اول پیچیده به نظر برسد، این مدل به هیچ وجه پیچیده نیست و می‌توان آن را به راحتی درک کرد. تنها سه آرایه ماتریسی وجود داردند که نقش مهمی در نظریه بازی می کنند. دو مورد از این سه آرایه نزدیک به صفر هستند و اغلب می توان از آنها صرفه نظر کرد. مهمترین عامل در این مدل، آرایه‌‌های ماتریسی بین اتمی هستند که توسط شیمیدان‌ها به سادگی انرژی پیوند نامیده می شود.

فرمول بندی ریاضی

اوربیتال‌های اتمی با $\varphi _{m}(\mathbf {r} )$ معرفی می‌شوند، که توابع ویژه هامیلتونی $H_{\rm {at}}$ یک اتم منزوی اند. هنگامی که این اتم در بلور قرار می گیرد، این تابع موج اتمی با اتم‌های مجاور همپوشانی دارد، و بنابراین، توابع ویژه هامیلتونی بلور واقعی نیستند. زمانی که الکترون‌ها به هم متصل می‌شوند، هم‌پوشانی کمتر می‌شود، که نشان دهنده‌ی «پیوند قوی» است. هرگونه اصلاح در پتانسیل اتمی $\Delta U$ لازم است کوچک فرض شود، تا به‌دست آوردن همیلتونی واقعی $H$ سیستم مقدور باشد.

$H(\mathbf {r} )=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq \mathbf {0} }V(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\Delta U(\mathbf {r} )\!$

$V(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})$ نشان دهنده پتانسیل اتمی یک اتم واقع در محل $\mathbf {R} _{n}$ در شبکه کریستالی است. $\psi _{m}$ یک جواب برای معادله شرودینگر تک الکترونی مستقل از زمان است که به صورت ترکیب خطی از اوربیتال‌های اتمی تقریب زده میشود:

$\psi _{m}(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})$

که $m$ به سطح mام انرژی اتمی اشاره دارد.

تقارن انتقالی و نرمال سازی

قضیه بلوخ بیان می‌کند که تابع موج در یک کریستال می‌تواند تحت انتقال تنها با یک عامل فاز تغییر کند:

$\psi (\mathbf {r+R_{\ell }} )=e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }\psi (\mathbf {r} )\,$

که $\mathbf {k}$ بردار موج تابع موج است. در نتیجه،

$\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n}+\mathbf {R} _{\ell })=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{\ell }}\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\$

با تعویض $\mathbf {R} _{p}=\mathbf {R} _{n}-\mathbf {R_{\ell }}$ در سمت راست تساوی، خواهیم داشت

$b_{m}(\mathbf {R} _{p}+\mathbf {R} _{\ell })=e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }b_{m}(\mathbf {R} _{p})\,$

یا

$b_{m}(\mathbf {R} _{\ell })=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{\ell }}b_{m}(\mathbf {0} )\ .$

نرمال‌سازی تابع موج به واحد:

$\int d^{3}r\ \psi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )=1$$=\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\sum _{\mathbf {R_{\ell }} }b_{m}(\mathbf {R_{\ell }} )\int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{\ell })$$=b_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k\cdot R_{n}} }\sum _{\mathbf {R_{\ell }} }e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{\ell })$$=Nb_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\sum _{\mathbf {R} _{p}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{p}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{p})\varphi _{m}(\mathbf {r} )\$$=Nb_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\sum _{\mathbf {R} _{p}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{p}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{p})\ ,$

بنابراین نرمال‌سازی نتیجه میدهد:

$b_{m}^{*}(0)b_{m}(0)={\frac {1}{N}}\ \cdot \ {\frac {1}{1+\sum _{\mathbf {R} _{p}\neq 0}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{p}}\alpha _{m}(\mathbf {R} _{p})}}\,$

که ${\textstyle \alpha _{m}(\mathbf {R} _{p})}$ انتگرال‌های همپوشانی اتمی هستند که اغلب نادیده گرفته می شوند و در نتیجه:

$b_{m}(0)\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\,$

و

$\psi _{m}(\mathbf {r} )\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\ .$

همیلتونی تنگ‌بست

با استفاده از شکل همبستگی قوی برای توابع موج، و با فرض اینکه فقط سطح انرژی اتم m در نوار انرژی mام مهم است، انرژی بلوخ $\varepsilon _{m}$ به شکل خواهد بود:

$\varepsilon _{m}=\int d^{3}r\ \psi _{m}^{*}(\mathbf {r} )H(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )$

$=\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})H(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )$

$=\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )+\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )$

$=\sum _{\mathbf {R} _{n},\mathbf {R} _{l}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})b_{m}(\mathbf {R} _{l})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{l})+b_{m}^{*}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )$

$=b_{m}^{*}(\mathbf {0} )b_{m}(\mathbf {0} )\ N\int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} )+b_{m}^{*}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )$

$\approx E_{m}+b_{m}^{*}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )\ .$

در آخرین مرحله انتگرال همپوشانی صفر فرض شده و بنابراین $b_{m}^{*}(\mathbf {0} )b_{m}(\mathbf {0} )={\frac {1}{N}}$ . سپس انرژی معادل است با:

$\varepsilon _{m}(\mathbf {k} )=E_{m}-N\ |b_{m}(0)|^{2}\left(\beta _{m}+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq 0}\sum _{l}\gamma _{m,l}(\mathbf {R} _{n})e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\right)\ ,$

$=E_{m}-\ {\frac {\beta _{m}+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq 0}\sum _{l}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\gamma _{m,l}(\mathbf {R} _{n})}{\ \ 1+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq 0}\sum _{l}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\alpha _{m,l}(\mathbf {R} _{n})}}\,$

که در آن ${\textstyle E_{m}}$ انرژی تراز اتمی $m$ است و $\alpha _{m,l}$ ، $\beta _{m}$ و $\gamma _{m,l}$ عناصر ماتریس مدل تنگ‌بست هستند.

جستارهای وابسته

• نظریه نوارها
• مدل الکترونی تقریبا آزاد
• قضیه بلوخ
• سطح فرمی
• تابع وانیر
• جرم مؤثر (فیزیک حالت جامد)
• فیزیک حالت جامد
• ترکیب خطی اوربیتال‌های اتمی
• روش هوکل