تساوی (ریاضیات)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، تساوی یا برابری، رابطه ایست بین دو کمیت، یا کلی تر، دو عبارات ریاضی، که ادعا می کند آن کمیت ها دارای مقدار یکسانی اند، یا آن عبارات نشان دهنده شیء ریاضیاتی یکسانی اند. تساوی بین A و B را به صورت A = B می نویسند و می خوانند A مساوی است با  B. نماد «=» را «علامت مساوی» گویند. بنابراین سه نوع تساوی وجود دارد که به روش های مختلفی صوری سازی شده اند:

  • تساوی دو نماد، به شیء یکسان اشاره می کنند.[۱]
  • دو مجموعه مساوی، دارای عناصر یکسان هستند.[۲]
  • تساوی دو عبارت، ارزشی یکسان تداعی می کند، مانند یک عدد، بردار، تابع یا مجموعه.

اینها را به ترتیب می توان به عنوان مفاهیم منطقی، نظریه مجموعه ای و جبری از تساوی محسوب کرد.

ریشه‌شناسی[ویرایش]

ریشه‌شناسی این کلمه، از aequālis در لاتین («برابر»، «مثل»، «قابل مقایسه»، «مشابه») از aequus («برابر»، «مرتبه»، «عادلانه»، «فقط») می آید.

تساوی در منطق ریاضی[ویرایش]

فرمول بندی منطقی[ویرایش]

لایبنیتس مفهوم تساوی را به شرح زیر مشخص نمود:

برای هر x و داریم x = y اگر و تنها اگر برای هر محمول P، داشته باشیم‏ P(x)‎ اگر و تنها اگرP(y)‎.

در این قانون،‏ «P(x)‎ اگر و تنها اگر‏ P(y)»‎ را می توان به‏ «P(x) ‎اگر‏ P(y)‎» تضعیف کرد؛ که قانون اصلاح شده، معادل فرمول بندی اصلی است.

به جای در نظر گرفتن قانون لایبنیتس به عنوان یک گزاره درست که می شود از قوانین معمول منطق (از جمله اصول موضوعه مربوط به تساوی مانند تقارنی، انعکاسی و جایگزینی) آن را نتیجه گرفت، آن را می توان به عنوان تعریف تساوی در نظر گرفت. خاصیتِ رابطه هم ارزی بودن و همچنین خواصی که پایین تر فهرست شده اند را می توان پس از آن ثابت کرد: آنها به قضیه بدل می شوند.

برخی خواص منطقی مقدماتی تساوی[ویرایش]

خاصیت جایگزینی می گوید:

  • برای هر کمیت a و b و هر عبارت‏ F(x)‎، اگر a = آنگاه‏ F(a) = F(b) ‎ (اگر هر دو طرف معنی دار باشند، یعنی خوش ساخت باشند).

در مرتبه اول منطق، این یک طرح است، چرا که نمی‌توانیم به روی عباراتی مانند F سور بزنیم (که یک محمول تابعی خواهد بود).

برخی از مثال های خاص از این، عبارتند از:

  • برای اعداد حقیقی  b ،a و c، اگر a = آنگاه a + c = b + c (در اینجا‏ F(x)‎ برابر x + c است)؛
  • برای اعداد حقیقی b ،a و c، اگر a = آنگاه ac = bc (در اینجا‏ F(x)‎ برابر xc است)؛
  • برای اعداد حقیقی b ،a و c، اگر a = b، آنگاه ac = bc (در اینجا ‏F(x)‎ برابر xc است)؛
  • برای اعداد حقیقی b ،a و c، اگر a = b و c ناصفر باشد، آنگاه a/c = b/c (در اینجا ‏F(x) ‎برابر x/c است).

خاصیت انعکاسی می گوید:

برای هر کمیت a، داریم a = a.

این ویژگی عموماً در اثبات های ریاضی به عنوان یک مرحله میانی مورد استفاده قرار می گیرد.

خاصیت تقارنی می گوید:

خاصیت تعدی می گوید:

این سه ویژگی، در ابتدا در اصول پئانو برای اعداد طبیعی گنجانده شده بودند. اگر چه خواص تقارنی و تعدی اغلب به عنوان بنیادی نگریسته می شوند، در صورتی که جایگزینی و انعکاسی را ابتدا مفروض بگیریم، می توان آنها را ثابت کرد.

تساوی به عنوان محمول[ویرایش]

زمانی که A و B به طور کامل مشخص نشده یا به متغیرهایی وابسته نباشند، تساوی یک گزاره است، که ممکن است برای برخی از مقادیر صادق بوده و برای برخی کاذب باشد. تساوی یک رابطه دوتایی، یا به عبارت دیگر، یک محمول دومتغیره است، که می‌تواند از آرگومان هایش (صادق یا کاذبارزش صدق تولید کند. در برنامه نویسی کامپیوتر، محاسبه اش از دو عبارت را به عنوان مقایسه می شناسند.

تساوی در نظریه مجموعه‌ها[ویرایش]

تساوی مجموعه‌ها در نظریه مجموعه‌ها به دو روش مختلف، و بسته به اینکه اصول آن مبتنی بر یک زبان مرتبه اول دارای یا فاقد تساوی هستند، اصل بندی می شوند.

تساوی مجموعه‌ای مبتنی بر منطق مرتبه اول دارای تساوی[ویرایش]

در FOL (منطق مرتبه اول) دارای تساوی، اصل موضوع گسترش بیان می کند که دو مجموعه که شامل عناصر یکسانی هستند، مجموعه هایی یکسان اند.[۳]

  • اصل موضوع منطق:‏ x = y ⇒ ∀z, (zxzy)‎
  • اصل موضوع منطق:‏ x = y ⇒ ∀z, (xzyz)‎
  • اصل موضوع نظریه مجموعه‌ها: ‏(z, ((zxzy)) ⇒ x = y∀ برای هر

آمیختن نیمی از کار به منطق مرتبه اول را می توان صرفاً به عنوان مسئله راحتی قلمداد کرد، آنگونه که لِوی می گوید:

«علتی که ما حساب محمولات مرتبه اول با تساوی را بر می گزینیم، مسئله راحتی است؛ بدین صورت رنج تعریف کردن تساوی و اثبات تمام خواصش را متحمل نمی‌شویم؛ اکنون این بار را منطق به دوش می کشد.»[۳]

تساوی مجموعه‌ای مبتنی بر منطق مرتبه اول بدون تساوی[ویرایش]

در FOL بدون تساوی، دو مجموعه مساوی تعریف می شوند اگر حاوی عناصر یکسانی باشند. پس اصل موضوع گسترش می گوید که دو مجموعه مساوی در مجموعه های یکسانی مشمول اند.[۳]

  • تعریف نظریه مجموعه‌ها: «x = y» به معنای زیر است:
    z, (zxzy)
  • اصل موضوع نظریه مجموعه‌ها: ‏x = y ⇒ ∀z, (xzyz)‎

همچنین نگاه کنید[ویرایش]

یادداشت[ویرایش]

  1. Rosser 2008, p. 163.
  2. Lévy 2002, pp. 13, 358.
  3. ۳٫۰ ۳٫۱ ۳٫۲ [[#CITEREF|]].

منابع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]