کوچک‌ترین کران بالا

کوچکترین کران بالا یا سوپریمُم یک مجموعه با ترتیب جزئی یا ترتیب کامل، در صورت وجود، کوچکترین عدد عضو اعداد حقیقی (و نه لزومن عضو آن مجموعه) است که بزرگتر یا مساوی تمام اعضای آن مجموعه باشد. طبق اصل کمال یا تمامیت هر زیر مجموعه‌ی ناتهی از اعداد حقیقی که از بالا کراندار باشد یک کوچکترین کران بالا یا سوپریمُم دارد. مثلن:

$\sup \, \{ 1, 2, 3 \} = 3\,$

$\sup \, \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \} = \sup \, \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 1 \} = 1\,$

$\sup \, \{ (-1)^n - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}^{*} \} = 1\,$

$\sup \, \{ a + b : a \in A \mbox{ and } b \in B\} = \sup(A) + \sup(B)\,$

$\sup \, \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \} = \sqrt{2}\,$

هم‌چنین طبق قرارداد:

$\sup \mathbb{Z}=+\infty \,$

$\sup \O =-\infty$

منبع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Supremum»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۹ می ۲۰۱۱).