فرمول هرون

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

فرمول هرون (به انگلیسی: Heron's formula) فرمولی است که با استفاده از آن می توان مساحت یک مثلث را بدون داشتن ارتفاع آن به دست آورد. نام آن از نام هرون اسکندرانی گرفته شده است.

این فرمول به صورت زیر بیان شده است:

A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

در اینجا،p برابر نصف محیط مثلث، و a و b و c برابر اضلاع مثلث می باشند.

اثبات[ویرایش]

با استفاده از جبر می توان این فرمول را اثبات کرد. این اثبات از اثباتی که هرون در کتابش (متریکا) در سال 60 ق. م. منتشر کرده بود، متفاوت است. مثلثی با اضلاع a و b و c در نظر می گیریم که در آن زاویه مقابل ضلع به ترتیب A و B و C است. طبق قانون کسینوس‌ها داریم:

\cos \widehat C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
\sin \widehat C = \sqrt{1-\cos^2 \widehat C} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}}{2ab}.
مساحت مثلث را با T نشان می دهیم:

\begin{align}
&T = \frac{1}{2} ab\sin \widehat C \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)} \\
& = \sqrt{\frac{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)}{16}} \\
& = \sqrt{\frac{(c -(a -b))}{2}\frac{(c +(a -b))}{2}\frac{((a +b) -c)}{2}\frac{((a +b) +c)}{2}} \\
& = \sqrt{\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}\frac{(a + b + c)}{2}} \\
& = \sqrt{\frac{(a + b + c)}{2}\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}} \\
& = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}.
\end{align}

منابع[ویرایش]

Heron's Formula-English Wikipedia

Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics (Vol II). Oxford University Press. pp. 321–323.