پرش به محتوا

نقطه حدی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در ریاضیات، نقطهٔ انباشتگی یا نقطهٔ حدیِ مجموعهٔ S در فضای توپولوژیک X، نقطه‌ای مانند x (درون فضای X و نه لزوماً مجموعهٔ S) است که هر همسایگی آن، شامل نقطه‌ای از S غیر از x باشد یا S را در نقطه‌ای بجز x قطع کند. توجه شود که در این تعریف همسایگی دلخواه نقطه حدی باید محذوف باشد (یعنی شامل خود نقطه x نباشد) همچنین نقطه حدی می‌تواند عضو مجموعه S باشد یا نباشد و این موضوع در تعریف مذکور تأثیری ندارد. مجموعهٔ نقاط حدی S را با 'S نشان می‌دهیم و به آن مجموعهٔ مشتق S می‌گوییم.

نقطهٔ حدی در تعریف مفاهیمی چون حد، بستار و مجموعه بسته پدیدار می‌گردد.

نگاره نقاط دنباله xn = (-۱)n·n/n از اعداد گویا را نشان می‌دهد. ۱ و ۱- نقاط حدی آن هستند.

مثال‌ها

[ویرایش]
نگاره اعداد گویای مثبت را نشان می‌دهد. بنابر قضیه چگالی، هر نقطه در مجموعه اعداد حقیقی یک نقطه حدی مجموعه اعداد گویا است.
  • با در نظر گرفتن خط حقیقی ، اگر A = (۰٬۱] آنگاه نقطهٔ ۰ یک نقطهٔ حدی A است. همچنین ۱/۲ نیز نقطه حدی دیگر آن است. در واقع هر نقطهٔ بازهٔ [۰٬۱] یک نقطه حدی A است؛ ولی هیچ عضو دیگر نقطه حدی A نیست.[۱]
  • یک مجموعه متناهی دارای نقطه حدی نیست.[۲]
  • مجموعه نامتناهی (مجموعه اعداد طبیعی) نقطه حدی ندارد.[۳]
  • تنها نقطه حدی مجموعهٔ نقطهٔ ۰ است. هیچ‌یک از نقاط دیگر A نقطهٔ حدی آن نیست.[۴]

قضیه‌ها

[ویرایش]
  • فرض کنید (M,d) یک فضای متریک باشد، AM و pM آن‌گاه احکام زیر معادلند:
    1. p یک نقطه حدی A است.
    2. هر همسایگی p شامل تعدادی نامتناهی نقطه از A است.
    3. دنباله‌ای مانند (xn) از نقاط A وجود دارد که همواره xnp ولی .[۵]

دانستنی‌ها

[ویرایش]
  • نقطهٔ p در فضای متری X را یک نقطهٔ تراکم مجموعهٔ EX نامند هرگاه هر همسایگی p تعداد شمارش ناپذیری نقطه از E را داشته باشد. نقطه تراکم نوع خاصی از نقطه حدی است.[۶]
  • هرگاه pS و p نقطهٔ حدی S نباشد، آنگاه p یک نقطهٔ تنهای S نام دارد.
  • S بسته است هرگاه هر نقطهٔ حدی S یک نقطه از S باشد.[۷]
  • S کامل است هرگاه S بسته و هر نقطهٔ آن یک نقطه حدی آن باشد.[۸]

پانویس

[ویرایش]

منابع

[ویرایش]
  • بارتل، رابرت ج.؛ شربرت، دانلد ر. (۱۳۷۸). آشنایی با آنالیز حقیقی. ترجمهٔ طاهر قاسمی هنری و حکیمه ماهیار. تهران: فاطمی. شابک ۹۶۴-۴۸۶-۰۹۰-X.
  • رودین، والتر (۱۳۸۵). اصول آنالیز ریاضی. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: انتشارات علمی و فنی. شابک ۹۶۴-۶۲۱۵-۰۰-۹.
  • مانکرز، جیمز ر. (۱۳۸۹). توپولوژی، نخستین درس. ترجمهٔ جواد لالی و دیگران. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۰۲۸۳-۱.
  • مدقالچی، علیرضا (۱۳۸۸). آنالیز ریاضی ۱. تهران: دانشگاه پیام نور. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵.