نقطه حدی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

در ریاضیات، نقطهٔ انباشتگی یا نقطهٔ حدیِ مجموعهٔ S در فضای توپولوژیک X، نقطه‌ای مانند x (درون فضای X و نه لزوماً مجموعهٔ S) است که هر همسایگی آن، شامل نقطه‌ای از S غیر از x باشد یا S را در نقطه‌ای بجز x قطع کند. توجه شود که در این تعریف همسایگی دلخواه نقطه حدی باید محذوف باشد (یعنی شامل خود نقطه x نباشد) همچنین نقطه حدی می‌تواند عضو مجموعه S باشد یا نباشد و این موضوع در تعریف مذکور تأثیری ندارد. مجموعهٔ نقاط حدی S را با 'S نشان می‌دهیم و به آن مجموعهٔ مشتق S می‌گوییم.

نقطهٔ حدی در تعریف مفاهیمی چون حد، بستار و مجموعه بسته پدیدار می‌گردد.

نگاره نقاط دنباله xn = (-۱)n·n/n از اعداد گویا را نشان می‌دهد. ۱ و ۱- نقاط حدی آن هستند.

مثال‌ها[ویرایش]

نگاره اعداد گویای مثبت را نشان می‌دهد. بنابر قضیه چگالی، هر نقطه در مجموعه اعداد حقیقی یک نقطه حدی مجموعه اعداد گویا است.
  • با در نظر گرفتن خط حقیقی ، اگر A = (۰٬۱] آنگاه نقطهٔ ۰ یک نقطهٔ حدی A است. همچنین ۱/۲ نیز نقطه حدی دیگر آن است. در واقع هر نقطهٔ بازهٔ [۰٬۱] یک نقطه حدی A است؛ ولی هیچ عضو دیگر نقطه حدی A است.[۱]
  • یک مجموعه متناهی دارای نقطه حدی نیست.[۲]
  • مجموعه نامتناهی (مجموعه اعداد طبیعی) نقطه حدی ندارد.[۲]
  • تنها نقطه حدی مجموعهٔ نقطهٔ ۰ است. هیچ‌یک از نقاط دیگر A نقطهٔ حدی آن نیست.[۲]

قضیه‌ها[ویرایش]

  • فرض کنید (M,d) یک فضای متریک باشد، AM و pM آن‌گاه احکام زیر معادلند:
    1. p یک نقطه حدی A است.
    2. هر همسایگی p شامل تعدادی نامتناهی نقطه از A است.
    3. دنباله‌ای مانند (xn) از نقاط A وجود دارد که همواره xnp ولی .[۳]

دانستنی‌ها[ویرایش]

  • نقطهٔ p در فضای متری X را یک نقطهٔ تراکم مجموعهٔ EX نامند هرگاه هر همسایگی p تعداد شمارش ناپذیری نقطه از E را داشته باشد. نقطه تراکم نوع خاصی از نقطه حدی است.[۴]
  • هرگاه pS و p نقطهٔ حدی S نباشد، آنگاه p یک نقطهٔ تنهای S نام دارد.
  • S بسته است هرگاه هر نقطهٔ حدی S یک نقطه از S باشد.[۵]
  • S کامل است هرگاه S بسته و هر نقطهٔ آن یک نقطه حدی آن باشد.[۵]

پانویس[ویرایش]

منابع[ویرایش]