نسخهای که میبینید نسخهای قدیمی از صفحه است که توسط Ma.hzadeh(بحث | مشارکتها) در تاریخ ۲۷ ژانویهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۱۴:۴۶ ویرایش شده است. این نسخه ممکن است تفاوتهای عمدهای با نسخهٔ فعلی داشته باشد.
نسخهٔ ویرایششده در تاریخ ۲۷ ژانویهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۱۴:۴۶ توسط Ma.hzadeh(بحث | مشارکتها)
روش عددی پایدار برای ارزیابی چند جمله ای ها به شکل برنشتاین به نام الگوریتم de Casteljau وجود دارد.
چند جمله ای های برنشتاین برای اولین بار توسط برنشتاین در اثبات سازنده قضیه تقریب Weierstrass استفاده شد. با ظهور گرافیک رایانه ای ، چند جمله های برنشتاین ، محدود به فاصله [0 ، 1] ، به شکل منحنی های بزیر شناخته شدند.
تعریف
n + چند جمله ای های درجه 1 برنشتاین به عنوان n تعریف می شوند
اولین چند جمله های اساسی برنشتاین برای ترکیب مقدارهای 1 ، 2 ، 3 یا 4 با هم عبارتند از:
چند جمله ای های پایه برنشتاین درجه n حداکثرمبنایی را برای فضای برداریP n از چند جمله ای های درجه n با ضرایب واقعی تشکیل می دهد. ترکیبی خطی از چند جمله ای مبتنی برنشتاین
در فرم درجه Bernnstein چند جمله ای یا چند جمله ای Bernstein از درجه n[۱] نامیده می شود. ضرایب ضرایب برنشتاین یا ضرایب بزیر نامیده می شوند.
از اولین چند جمله ای های مبتنی برنشتاین در زیر آمده است که از بالا، دارای فقط یک جمله هستند:
چند جمله ای های برنشتاین یک روش برای اثبات قضیه تقریب Weierstrass ارائه می دهد که هر تابع مداوم با ارزش واقعی در یک بازه واقعی [ a ، b ] را می توان با توابع چند جمله ای بیش از یکنواخت تقریب زد . [۷]
در بیانی عمومی تر برای یک تابع با K مستمر هفتم مشتق
علاوه بر این
یک مقدار ویژهBn است ؛ عملکرد ویژه مربوط به آن چند جمله ای درجه است ک
اثبات احتمالی
این اثبات از اثبات اصلی برنشتاین در سال 1912 پیروی می کند. [۸] همچنین به فلر (1966) یا کورالوف و سینا (2007) مراجعه کنید. [۹]
برای هر δ > 0 علاوه بر این، این رابطه دارای یکنواخت در X، که می توان از اثبات آن از طریق دیده نابرابری چبیشف ، با توجه به که واریانس K، برابر × (1 − X) است، از بالا توسط از x محدود بدون در نظر گرفتن.
از آنجا ƒ مستمر بودن در یک فاصله زمانی بسته و کراندار، باید یکنواخت پیوسته در آن بازه، یک نوشتار بیانیه ای از فرم
بصورت یکنواخت در x . با در نظر گرفتن اینکه ƒ محدود است (در فاصله زمانی مشخص) فرد می تواند انتظار را بدست آورد
بصورت یکنواخت در x . بدین منظور یکی مجموع انتظار را به دو قسمت تقسیم می کند. در یک قسمت تفاوت از ε فراتر نمی رود. این بخش نمی تواند بیش از ε کمک کند . در قسمت دیگر این اختلاف از ε فراتر می رود ، اما از 2 M فراتر نمی رود ، جایی که M حد بالایی برای | است ƒ (x) | این قسمت نمی تواند بیش از 2 M برابر احتمال کوچک اختلاف بیش از ε باشد .
سرانجام ، یکی مشاهده می کند که مقدار مطلق تفاوت بین انتظارات هرگز از انتظار مقدار مطلق اختلاف فراتر نمی رود و
اثبات ابتدایی
اثبات احتمال را می توان به روش ابتدایی ، با استفاده از ایده های احتمالی اساسی ، اما با تأیید مستقیم ادامه داد: [۱۰][۱۱][۱۲][۱۳][۱۴]
هویت های زیر را می توان تأیید کرد:
(3)
("احتمال")
(2)
("میانگین")
(3)
("واریانس")
در واقع ، با قضیه دو جمله ای
و این معادله را می توان دو بار به . هویت (1) ، (2) و (3) با استفاده از تعویض به راحتی دنبال می شود .
در این سه هویت ، از علامت چند جمله ای مبانی فوق استفاده کنید
و اجازه دهید
بنابراین ، توسط هویت (1)
به طوری که
از آنجا که f یکنواخت پیوسته است ، داده می شود ، وجود دارد به طوری که هر زمان که . علاوه بر این ، با تداوم ، . اما بعد
اولین جمع کمتر از ε است. از طرف دیگر ، با هویت (3) در بالا ، و از آن زمان ، جمع دوم با 2 M بار محدود می شود
چند جمله ای های Bernstein را می توان به ابعاد k تعمیم داد. چند جمله ای های بدست آمده به شکل Pi1(x1) Pi2(x2) ... Pik(xk)Pi1(x1) Pi2(x2) ... Pik(xk)Pi1(x1) Pi2(x2) ... Pik(xk)Pi1(x1) Pi2(x2) ... Pik(xk)[۱۵] در ساده ترین حالت فقط محصولات فاصله واحد [0,1] در نظر گرفته می شوند. اما ، با استفاده از تبدیل های آفینی خط ، چندین جمله های برنشتاین را می توان برای محصولات [a1, b1] × [a2, b2] × ... × [ak, bk] . برای یک تابع مداوم f روی محصول برابر k برابر واحد ، اثبات اینکه f(x1, x2, ..., xk) می تواند به طور یکسان تقریب شود
Caglar, Hakan; Akansu, Ali N. (July 1993). "A generalized parametric PR-QMF design technique based on Bernstein polynomial approximation". IEEE Transactions on Signal Processing. 41: 2314–2321. doi:10.1109/78.224242. Zbl0825.93863.
Feller, William (1966), An introduction to probability theory and its applications, Vol, II, John Wiley & Sons, pp. 149–150, 218–222
Acikgoz, Mehmet; Araci, Serkan (2010). "On the generating function for Bernstein Polynomials". AIP Conf. Proc. 1281: 1141. doi:10.1063/1.3497855.
Doha, E. H.; Bhrawy, A. H.; Saker, M. A. (2011). "Integrals of Bernstein polynomials: An application for the solution of high even-order differential equations". Appl. Math. Lett. 24: 559–565. doi:10.1016/j.aml.2010.11.013.
Farouki, Rida T. (2012). "The Bernstein polynomial basis: a centennial retrospective". Comp. Aid. Geom. Des. 29: 379–419. doi:10.1016/j.cagd.2012.03.001.
Chen, Xiaoyan; Tan, Jieqing; Liu, Zhi; Xie, Jin (2017). "Approximations of functions by a new family of generalized Bernstein operators". J. Math. Ann. Applic. 450: 244–261. doi:10.1016/j.jmaa.2016.12.075.
Weisstein, Eric W. "Bernstein Polynomial". MathWorld.
This article incorporates material from properties of Bernstein polynomial on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.