فضای برداری نرم‌دار

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
سلسله مراتب فضاهای ریاضیاتی، فضاهای نرم دار در این نمودار شامل فضاهای ضرب داخلی و زیرمجموعه ای از فضاهای متری هستند، که خود فضاهای متری زیرمجموعه فضاهای برداری نرم دار می باشند.

در ریاضیات، فضای برداری نرم‌دار (به انگلیسی: Normed Vector Space) یا فضای نرم‌دار، فضایی برداری روی اعداد حقیقی یا مختلط است که برای آن نرم تعریف شده باشد.[۱] نرم، صوری سازی و تعمیم مفهوم "طول" در جهان واقعی را به فضاهای برداری حقیقی تعمیم می دهد. نرم، تابعی حقیقی-مقدار است که روی فضای برداری عریف شده و اکثراً به صورت نمایش داده شده و دارای خواص زیر است:[۲]

  1. نامنفی است، یعنی برای هر بردار داریم .
  2. روی بردارهای ناصفر، بزرگتر از صفر است:
  3. برای هر بردار ، و هر اسکالر داریم:
  4. نامساوی مثلثی برقرار است، یعنی برای هر دو بردار داریم:

برای هر نرم از طریق رابطه زیر یک متر تعریف می شود:

که فضای برداری نرم دار را تبدیل به یک فضای متری و یک فضای برداری توپولوژیکی می کند. اگر متر مذکور کامل باشد، به فضای نرم دار مورد نظر، فضای باناخ می گویند.

پانویس[ویرایش]

  1. Callier, Frank M. (1991). Linear System Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.
  2. Rudin 1991, pp. 3-4.

منابع[ویرایش]

پیوندهای بیرونی[ویرایش]