فرم بنیادی اول

در هندسه دیفرانسیل، فرم بنیادی اول (به انگلیسی: First Fundamental Form) ضرب داخلی روی فضای مماس یک رویه در فضای اقلیدسی سه بعدی است که به طور کانونی از ضرب داخلی $\mathbb {R} ^{3}$ القا می شود. این فرم، امکان محاسبه انحنا و خواص متری یک رویه چون طول و مساحت را به گونه ای که با فضای پیرامونی سازگار باشد را می دهد. اولین فرم بنیادی با عددگذاری رومی $I$ نمایش می دهند:

$\mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .$

فرض کنید $X(u,v)$ یک رویه پارامتری باشد. آنگاه ضرب داخلی دو بردار مماس به این صورت است:

${\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\&=ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}$

که در آن $E$ و $F$ و $G$ ضرایب فرم بنیادی اول اند.

فرم بنیادی اول را می توان به صورت ماتریس متقارن زیر نمایش داد:

$\mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}y$

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «First Fundamental Form». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.