اپی‌مورفیزم

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
Epimorphism scenarios.svg

در نظریه دسته‌ها، یک اپی مورفیزم (به انگلیسی: epimorphism) (همچنین مورفیزم اِپیک یا معادلاَ اِپی نیز گفته می‌شود) یک پیکان f: XY است که از سمت راست منتفی پذیر است، به این معنا که برای هر دو مورفیزم g۱, g۲: YZ, .

اپی مورفیزم‌ها، مشابه کاتگوریکالِ توابع پوشا هستند (و در کاتگوری مجموعه‌ها، این مفهوم منطبق بر توابع پوشاست) اما ممکن است که این دقیقاً در همه جا برقرار نباشد؛ به عنوان مثال، تابع شمول یک اپی مورفیزم حلقه ایست. دوگان یک اپی مورفیزم، یک مونومورفیزم است. (یعنی یک اپی مورفیزم در یک دسته ی یک مونومورفیزم در دسته دوگان Cop است).

بسیاری از مؤلفان در جبر مجرد و جبر جهانی، یک اپی مورفیزم را به سادگی بعنوان یک همریختی بِرویِ یا پوشا تعریف می‌کنند. هر اپی مورفیزم در این نگاه جبری، یک اپی مورفیزم در منظر نظریه دسته هاست، اما عکس این مسئله در همهٔ دسته‌ها برقرار نیست. در این مقاله اصطلاح «اپی مورفیزم»، در چارچوب نظریه دسته‌ای فوق استفاده خواهد شد. برای مطالعه بیشتر در این باره، مراجعه کنید به بخش اصطلاحات در پایین.

مثال[ویرایش]

هر مورفیزم در یک کاتگوری سفت که تابع زیربنایی اش پوشاست، یک اپی مورفیزم است. در بسیاری از کاتگوری‌های سفت مورد توجه، عکس این قضیه نیز درست است. برای مثال در دسته‌های زیر، اپی مورفیزم‌ها دقیقاً همان مورفیزم‌هایی اند که روی مجموعه‌های زیربنایی، پوشا هستند:

  • Set، از مجموعه‌ها و توابع. برای اثبات اینکه هر اپی مورفیزم f: XY در Set پوشاست، آن را هم با تابع مشخصهg۱: Y → {۰٬۱} ‎ از تصویر‏ f(X)‎ و هم نگاشت‏ g۲: Y → {۰٬۱} ‎ که برابر ثابت ۱ است، ترکیب می‌کنیم.
  • Rel، از مجموعه‌ها با روابط دوتایی و توابع حافظ رابطه. در اینجا می‌توانیم همان اثباتِ Set را مورد استفاده قرار دهیم، در صورت تجهیز {۰٬۱} با رابطه {۰٬۱}×{0,1}.
  • Grp، از گروه‌ها و همریختی‌های گروهی. این نتیجه که هر اپی مورفیزم در Grp پوشاست، دستاورد اتو شرایر است (او در واقع بیش از این را ثابت کرد؛ اینکه هر زیرگروه یک تساوی ساز است، با استفاده از ضرب آزادبا یک زیرگروه ادغام شده)؛ اثباتی مقدماتی را می‌توان در (Linderholm 1970) یافت.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
  • Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Epimorphism", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
  • Linderholm, Carl (1970). A Group Epimorphism is Surjective. American Mathematical Monthly 77, pp. 176–177. Proof summarized by Arturo Magidin in [۱].
  • Lawvere & Rosebrugh: Sets for Mathematics, Cambridge university press, 2003. ISBN 0-521-80444-2.