اتحادهای گرین

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، اتحادهای گرین شامل سه اتحاد در جبر بردارها است که به نام جورج گرین ریاضیدان انگلیسی نام گذاری شده‌است.

اتحاد یکم[ویرایش]

این اتحاد از وارد کردن قضیهٔ دیورژانس در فضای برداری بدست آمده‌است. فرض کنید φ و ψ تابع‌های نردبانی اند (عددی) که بر روی ناحیهٔ U از R۳ تعریف شده‌اند. همچنین فرض کنید که φ دو بار مشتق پذیر و پیوسته و ψ یک بار مشتق پذیر و پیوسته است. آنگاه:[۱]

که در آن همان عملگر لاپلاس است. n بردار یکهٔ عمود بر سطح کوچک dS و مرز ناحیهٔ U می‌باشد. این قضیه اساساً هم‌ارز انتگرال‌گیری در ابعاد بالاتر است که دارای جزءهای ψ و گرادیان φ به جای u و v می‌باشد.

اتحاد دوم[ویرایش]

اگر φ و ψ هر دو، دو بار مشتق پذیر و پیوسته بر روی ناحیهٔ U از R۳ باشند و ε یک بار مشتق پذیر و پیوسته باشد:

در حالت خاص بر روی ناحیهٔ U از R۳ خواهیم داشت:

در رابطهٔ بالا، ∂φ / ∂n مشتق جهت دار φ در جهت n، رو به بیرون و عمود بر سطح کوچک dS است:

اتحاد سوم[ویرایش]

اتحاد سوم گرین از اتحاد دوم بدست می‌آید. به شرطی که در نظر بگیریم و G جواب معادلهٔ لاپلاس باشد و این بدین معنی است که:

برای نمونه در جواب بنیادی فرم زیر را دارد:

اتحاد سوم گرین می‌گوید که اگر ψ تابعی باشد که دو بار بر روی ناحیهٔ U پیوسته و مشتق پذیر است، آنگاه:

اگر بخواهیم مسئله را ساده تر کنیم، آن را به این شکل بیان می‌داریم که اگر ψ یک تابع هارمونیک باشد، برای نمونه جواب معادلهٔ لاپلاس باشد، آنگاه و اتحاد به شکل زیر ساده می‌شود:

منبع و یادداشت[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Green's identities»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۵ نوامبر ۲۰۱۱).

  1. Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley. 

جستارهای وابسته[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]

  • [۱] اتحادهای گرین در Wolfram MathWorld.