اتحادهای گرین

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، اتحادهای گرین شامل سه اتحاد در جبر بردارها است که به نام جورج گرین ریاضیدان انگلیسی نام گذاری شده‌است.

اتحاد یکم[ویرایش]

این اتحاد از وارد کردن قضیهٔ دیورژانس در فضای برداری بدست آمده‌است. \mathbf{F}=\psi \nabla \varphi فرض کنید φ و ψ تابع‌های نردبانی اند (عددی) که بر روی ناحیهٔ U از R۳ تعریف شده‌اند. همچنین فرض کنید که φ دو بار مشتق پذیر و پیوسته و ψ یک بار مشتق پذیر و پیوسته است. آنگاه:[۱]

\int_U \left( \psi \nabla^{2} \varphi + \nabla \varphi \cdot \nabla \psi\right)\, dV  = \oint_{\partial U} \psi \left( \nabla \varphi \cdot \bold{n} \right)\, dS

که در آن \nabla^{2} همان عملگر لاپلاس است. n بردار یکهٔ عمود بر سطح کوچک dS و {\partial U} مرز ناحیهٔ U می‌باشد. این قضیه اساساً هم‌ارز انتگرال‌گیری در ابعاد بالاتر است که دارای جزءهای ψ و گرادیان φ به جای u و v می‌باشد.

اتحاد دوم[ویرایش]

اگر φ و ψ هر دو، دو بار مشتق پذیر و پیوسته بر روی ناحیهٔ U از R۳ باشند و ε یک بار مشتق پذیر و پیوسته باشد:

 \int_U \left[ \psi \nabla \cdot \left( \epsilon \nabla \varphi \right) - \varphi \nabla \cdot \left( \epsilon \nabla \psi \right) \right]\, dV = \oint_{\partial U} \epsilon \left( \psi {\partial \varphi \over \partial n} - \varphi {\partial \psi \over \partial n}\right)\, dS.

در حالت خاص  \epsilon = 1 بر روی ناحیهٔ U از R۳ خواهیم داشت:

 \int_U \left( \psi \nabla^2 \varphi - \varphi \nabla^2 \psi\right)\, dV = \oint_{\partial U} \left( \psi {\partial \varphi \over \partial n} - \varphi {\partial \psi \over \partial n}\right)\, dS.

در رابطهٔ بالا، ∂φ / ∂n مشتق جهت دار φ در جهت n، رو به بیرون و عمود بر سطح کوچک dS است:

 {\partial \varphi \over \partial n} = \nabla \varphi \cdot \mathbf{n}.

اتحاد سوم[ویرایش]

اتحاد سوم گرین از اتحاد دوم بدست می‌آید. به شرطی که \varphi=G در نظر بگیریم و G جواب معادلهٔ لاپلاس باشد و این بدین معنی است که:

 \nabla^2 G(\mathbf{x},\mathbf{\eta}) = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{\eta}).

برای نمونه در \mathbb{R}^3 جواب بنیادی فرم زیر را دارد:

G(\mathbf{x},\mathbf{\eta})={-1 \over 4 \pi\|\mathbf{x} - \mathbf{\eta} \|}.

اتحاد سوم گرین می‌گوید که اگر ψ تابعی باشد که دو بار بر روی ناحیهٔ U پیوسته و مشتق پذیر است، آنگاه:

 \int_U \left[ G(\mathbf{y},\mathbf{\eta}) \nabla^2 \psi(\mathbf{y})\right]\, dV_\mathbf{y} - \psi(\mathbf{\eta})=  \oint_{\partial U} \left[ G(\mathbf{y},\mathbf{\eta}) {\partial \psi \over \partial n} (\mathbf{y}) - \psi(\mathbf{y}) {\partial G(\mathbf{y},\mathbf{\eta}) \over \partial n} \right]\, dS_\mathbf{y}.

اگر بخواهیم مسئله را ساده تر کنیم، آن را به این شکل بیان می‌داریم که اگر ψ یک تابع هارمونیک باشد، برای نمونه جواب معادلهٔ لاپلاس باشد، آنگاه \nabla^2\psi = 0 و اتحاد به شکل زیر ساده می‌شود:

  \psi(\mathbf{\eta})=  \oint_{\partial U} \left[\psi(\mathbf{y}) {\partial G(\mathbf{y},\mathbf{\eta}) \over \partial n} -   G(\mathbf{y},\mathbf{\eta}) {\partial \psi \over \partial n} (\mathbf{y}) \right]\, dS_\mathbf{y}.

منبع و یادداشت[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Green's identities»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۵ نوامبر ۲۰۱۱).

  1. Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley. 

جستارهای وابسته[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]

  • [۱] اتحادهای گرین در Wolfram MathWorld.