نظریه امکان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

نظریهٔ امکان، رهیافتی نو است که با ابزار ریاضیات و در کنار روش‌های پیشین در نظریهٔ احتمالات، سعی در تحلیل بخش‌های خاصی از عدم قطعیت دارد. این نظریه اولین بار توسط پروفسور لطفعلی عسکرزاده در سال ۱۹۷۸ میلادی در امتداد نظریهٔ مجموعه‌های فازی و منطق فازی ارائه شد. بعد از او، دابویس و پراد در گسترش این نظریه همکاری کردند. به طور خلاصه محتوای این نظریه را می‌توان اینگونه بیان کرد که در تحلیل پیشامدها و شرایط محیطی تنها به دنبال رخدادهای محتمل نیستیم و در سازه‌های نامطمئن در پی یافتن تمامی پیشامدهای امکان پذیری هستیم که با درجه امکان این پیشامدها و درجه امکان پیشامدهای متناقض معرفی می‌شوند. پیش از این در دههٔ ۵۰ میلادی، شاکل، روش جبری کمینه/بیشینه را برای توصیف میزان بالقوهٔ تعجب ارائه داده بود.

وجوه مختلف عدم قطعیت[ویرایش]

نظریه احتمال[ویرایش]

از دیر باز تنها رهیافت تکامل یافته ریاضی برای حل مسائل در شرایط عدم قطعیت (Uncertainty)، نظریه احتمال (Probability Theory) بود. بر اساس باور عمومی، در بسیاری از محیط‌های تصمیم، داده‌های موجود جنبه آماری دارند و بنابراین باروش‌های نظریه احتمال می‌توان بر عدم قطعیت ناشی از جنبه‌های تصادفی فائق آمد. این نظریه با تمامی کاربردهایی که در حوزه‌های مختلف دارد، تنها در تحلیل نوع خاصی از عدم اطمینان کارایی دارد. محدودیت‌های این نظریه روز به روز بیشتر شناخته می‌شود.

نظریه احتمال تنها در موقعیت‌هایی از عدم اطمینان کاربرد دارد که نامطمئنی شرایط ناشی از وجوه تصادفی پیشامدهای یک سیستم و یا یک فرآیند بوده و فقدان روند در تغییرات و یا پیچیدگی و گستردگی عوامل تاثیرگذار به خوبی قابل شناسایی و برآیند این تاثیر به صورت مجزا قابل بررسی نباشد و یا به دلیل وجود محدودیت‌های مطالعاتی و تصمیم سازی، تمایلی به کشف روند در برآیند تاثیر عوامل گسترده موثر بر پیشامدها وجود نداشته باشد. رویکرد تصمیم گیران در بکاربردن نظریه احتمال، دستیابی به الگوریتمی جهت پیش بینی تغییرات رفتار جامعه آماری بر اساس شاخص‌هایی است که از تحلیل نمونه‌های جامعه به دست می‌آید.

در بسیاری از موقعیتها، عدم اطلاع کامل و معتبر ما از یک فرایند یا سیستم، صرفا به دلیل وجوه تصادفی حاکم بر آنها نیست، بلکه ممکن است اطلاعات ما به این دلیل معتبر و کامل نباشد و با اطلاعاتی ناکافی، مبهم، نادقیق، متناقض،... سروکار داشته باشیم. حتی در موقعیتهایی که استنتاج ترد و غیر فازی ما از داده‌های موجود، نشان دهنده وجود رفتارهای غیر منطقی باشد، ما با نوعی ابهام در تحلیل شرایط و پیشامدهای موجود مواجه خواهیم بود. تنوع وجوه مبهم و ناگویا در داده‌های دریافتی، نشان از وجوه مختلف عدم قطعیت در اطلاعات دارد که فقط یکی از آنها، در قالب نظریه احتمال بیان شدنی است و آن عدم اطمینانی است که ناشی از وجود جنبه‌های تصادفی باشد.

نظریه امکان[ویرایش]

هم زمان با شکل گیری منطق فازی، نظریه‌های ریاضی مختلفی برای درک و شناسایی وجوه عدم اطمینان در محیط تصمیم و پیشامدهای امکان پذیر و مبهم آن در این محیط ابداع و توسعه یافته‌است. از بین نظریه‌های ریاضی در شرایط ابهام، می‌توان نظریه امکان (Possibility Theory) را مناسب ترین و منسجم ترین نظریه در تحلیل عدم قطعیتهای محیط تصمیم به حساب آورد. به طور خلاصه محتوی این نظریه را می‌توان اینگونه بیان کرد که در تحلیل پیشامدها و شرایط محیطی تنها به دنبال رخدادهای محتمل نیستیم و در سازه‌های نامطمئن در پی یافتن تمامی پیشامدهای امکان پذیری هستیم که با درجه امکان این پیشامدها و درجه امکان پیشامدهای متناقض معرفی می‌شوند. در این نگرش ما پیشامدها و نقیض آنها را مانع الجمع نمی‌دانیم و همچون نظریه احتمال، آنها را رودرروی یکدیگر قرار نمی‌دهیم. در نظریه احتمال سعی بر این است تا با اختصاص شاخص احتمال وقوع پیشامد آن را به احتمال عدم وقوع نقیض آن تعبیر نماییم حال انکه در نظریه جامع تر امکان، عدم اطمینان یک پیشامد توسط دو عدد مشخص می‌شود.

  1. درجه امکان خود پیشامد
  2. درجه لزوم پیشامد (درجه لزوم پیشامد = درجه امکان پیشامد نقیض – ۱).

درجه امکان یک پیشامد با درجه لزوم آن الزاما برابر نیست. این نوع توصیف با نوع تفکر ما بسیار سازگار است. ما در بررسی امکان وقوع یک پیشامد، هم زمینه‌ها و قرائن وقوع آن پیشامد را در نظر می‌گیریم و هم زمینه‌ها و قرائن وقوع پیشامد نقیض را بررسی می‌کنیم.

رابطهٔ نظریه امکان با نظریه احتمال[ویرایش]

چه رابطه‌ای بین نظریه امکان و نظریه احتمال وجود دارد؟ ذهنی که با منطق قطعی یا به تعبیر دیگر ترد (Crisp) خو گرفته‌است نمی‌تواند بین مفهوم امکان پذیری و احتمال تفاوت قائل شود. با ذکر یک مثال تفاوتهای امکان پذیری و احتمال را بیشتر بررسی می‌کنیم.

مثال: بر صفحه شطرنج پوزسیون یک بازی چیدمان شده‌است. استرات‍‍ژی‌های امکان پذیر بسیاری برای برد و باخت وجود دارد. اما احتمال هر یک از استراتژی‌های فوق برای یک بازیکن حرفه‌ای نسبت به یک بازیکن آماتور یکسان نیست با اینکه درجه امکان پذیری آن برای هر دو بازیکن یکسان است.

زمینه‌های بسیاری وجود دارد که هم از جنبه امکان پذیری و هم جنبه احتمال قابل بررسی هستند. داده‌ها و اطلاعات موجود برای بررسی امکان پذیری یک پیشامد کفایت می‌کند لیکن برای یافتن احتمال رخداد آن پیشامد نیاز به اطلاعات بیشتری از شرایط مشابه و پیشینه موقعیتهای قبلی جهت کشف یک روند و گمانه زنی در مورد احتمال وقوع آن رخداد است. مسلما قطعیت و درجه اعتبار اطلاعات ثانویه بایستی به مراتب بیشتر و معتبرتر از اطلاعات اولیه باشد.

اصل سازگاری امکان - احتمال[ویرایش]

اصل سازگاری امکان – احتمال توسط پرفسور لطفعلی عسکرزاده ارائه شده‌است. این اصل بیان می‌دارد که: «درجه بالای امکان، مستلزم درجه بالای احتمال نیست، ولی درجه بالای احتمال مستلزم یک درجه بالای امکان است.» به عبارتی در هر مورد امکان حداقل به بزرگی احتمال است. اصل سازگاری یک قاعده دقیق و یک رابطه ذاتی برای مفاهیم امکان و احتمال نیست بلکه صورت بندی تقریبی درک شهودی ما نسبت به این نکته‌است که احتمال یک رخداد نمی‌تواند از درجه امکان پذیری آن بیشتر باشد. دوبوا و پراد (۱۹۸۰) حتی تاکید نموده‌اند که درجه امکان پذیری یک پیشامد دلخواه بایستی از احتمال آن بیشتر باشد. اگر نظر دبوا و پراد را بپذیریم در ماهیت پیشامد را قبل و بعد از وقوع می‌توان چنین تصور نمود:

غیر ممکن ---> امکان پذیر ---> محتمل ---> تحقق یافته

اما بایستی توجه داشت که اصل سازگاری نمی‌تواند مبنایی برای مقایسه دو پیشامد و ترتیب درجه امکان پذیری و احتمال آنها باشد.

مثال: همواره ساده ترین راه امکان پذیر تر است اما با توجه به هدف تصمیم گیرنده محتمل تر نیست.

بنابراین می‌توان اصل سازگاری امکان – احتمال را به شکل زیر تصحیح نمود که یک درجه بالای امکان پذیری برای یک پیشامد مستلزم یک درجه بالای احتمال برای آن پیشامد نیست، ولی یک درجه بالای احتمال، مستلزم یک درجه بالای امکان می‌باشد. بعلاوه برای دو پیشامد آنکه ممکن تر است، محتملتر هم می‌باشد.

وجوه عینی و ذهنی نظریه امکان و احتمال[ویرایش]

همانگونه که درمورد عینی و یا ذهنی بودن احتمال اختلاف نظرهایی وجود دارد، در مورد امکان نیز به همین شکل است. در مفهوم امکان نیز هم می‌توان وجه ذهنی بودن و هم وجه عینی بودن را تصور نمود. قابلیت فازی نظریه امکان توان پوشش دو وجه را در قالب یک مفهوم داشته و مرزبندی بین این دو وجه را از حالت خشک و ترد خارج می‌سازد. تحلیل میزان سازگاری برداشتهای ذهنی و استنتاج‌های صورت گرفته از داده‌های مبهم، همراه با اطلاعات مبتنی بر شواهد و داده‌های عینی، امکان بازشناسی قضاوت‌های ناسازگار را فراهم می‌آورد (برای تحلیل ناسازگاری در قضاوتهای تصمیم گیرندگان، تکنیک فرایند تحلیل سلسله مراتبی مطالعه شود). آنچه مسلم است اینکه احتمال و امکان وجوه مختلفی از عدم قطعیت هستند و برای هر دو می‌توان دو وجه عینی و ذهنی بودن را تصور نمود اما امکان به دنبال میزان سازگاری و تطابق یک پیشامد با ماهیت نسبت داده شده‌است اما احتمال به مقطعی که وقوع یا عدم وقوع اتفاق می‌افتد اشاره دارد. همچنین جمع مقادیر هر تابع احتمال(توزیع احتمال) روی کل فضای مورد تحلیل یک است در حالی که برای تابع امکان این محدودیت وجود ندارد(یعنی در فضای کل امکان پذیری پیشامدها می‌تواند مجموعا از یک هم بیشتر باشد.)

مثال: لیوان آبی وجود دارد، درجه امکان خوردن آب و نخوردن این آب به عنوان دو پیشامد متناقض می‌تواند یک باشد. یعنی هم این آب را می‌توان خورد هم می‌توان نخورد، لیکن اگراحتمال خوردن آب ۰٫۳ باشد قطعا احتمال نخوردن آن ۰٫۷ است. بنابراین اندازه‌های احتمال را می‌توان با یکدیگر جمع بست لیکن در حالت تلفیق پیشامدها نمی‌توان امکان پذیری دو پیشامد تلفیقی را با هم جمع نمود.

رابطهٔ نظریه امکان با نظریه بازی‌ها[ویرایش]

توانایی اندازه‌های امکان به دلیل شکل گیری آنها با کمترین اطلاعات و داده‌های عینی و وجود برداشتهای شخصی و ذهنی، در تحلیل پیشامدها بالاتر و نظریه امکان کارا تر است. به ویژه در موقعیتهایی که به دلیل شدت رقابت در ماهیت بازیهای بدون اطلاعات کافی و یا بازیهای مبهم امکان دریافت اطلاعات معتبر و کافی وجود نداشته و حتی داده‌های موجود با عدم قطعیت در مورد صحت و اعتبار برخوردار هستند، نظریه امکان این امکان را برای تحلیلگران بازی فراهم می‌آورد تا با گسترش طیف استراتژی‌های محتمل به استراتژیهای امکان پذیر، شیوه واقعی تر و ملموس تری از بازی‌های رقابتی و سیاسی را انتخاب نمایند که منطق این گروه از بازیها، مبتنی بر منطق فازی در شرایط عدم قطعیت و ابهام می‌باشد. هر گزینه و استراتژیی در این بازیها یک عضو از مجموعه انتخابهای امکان پذیر برای حریف و درجه امکان پذیری و یا درجه الزام، تابع عضویت این عضو در این زیر مجموعه فازی محسوب می‌شود.[۱]

نظریه امکان در قالب ریاضیات[ویرایش]

برای پرهیز از پیچیدگی، فرض کنید مجموعهٔ مرجع Ω، مجموعه‌ای متناهی است و تمام زیر مجموعه‌ها اندازه پذیرند. یک توزیع امکان، تابعی همچون \operatorname{pos}، از Ω به [۱, ۰] است، به گونه‌ای که:

اصل موضوع ۱: \operatorname{pos}(\varnothing) = 0
اصل موضوع ۲: \operatorname{pos}(\Omega) = 1
اصل موضوع ۳: \operatorname{pos}(U \cup V) = \max \left(\operatorname{pos}(U),  \operatorname{pos}(V) \right) برای مجموعه‌های مجزای U و V.

بنابراین، مانند نظریه احتمالات، میزان امکان بر مجموعه‌ای متناهی توسط عملکرد آن بر زیرمجموعه‌های منفرد عضوهای آن مجموعه تعیین می‌شود. یعنی:

\operatorname{pos}(U) = \max_{\omega \in U} \operatorname{pos}(\{\omega\})

مشروط بر متناهی بودن یا شمارای نامتناهی بودن مجموعهٔ U.

اصل موضوع ۱ را می‌توان اینگونه تفسیر نمود که مجموعهٔ مرجع Ω یک توصیف جامع و فراگیر از تمامی حالات دیگر جهان است. زیرا بنا بر این اصل هیچ وزنی به اطمینان عناصر خارج از Ω داده نمی‌شود.

اصل موضوع ۲ را می‌توان اینگونه تفسیر نمود که شواهد سازندهٔ تابع توزیع امکان،\operatorname{pos} عاری از هر گونه تناقض است. به عبارت دیگر، این اصل منجر می‌شود که دست کم یک عنصر در Ω با امکان ۱ موجود باشد.

اصل موضوع ۳ هم ارز اصل موضوع جمع پذیری در احتمالات است. اما تفاوت عملی مهمی میان این دو وجود دارد و آن این است که نظریهٔ امکان به قدرت محاسباتی کمتری نیازمند است. زیرا بنا بر اصول موضوع ۱ و ۳:

\operatorname{pos}(U \cup V) = \max \left(\operatorname{pos}(U),  \operatorname{pos}(V) \right) برای هر زیرمجموعهٔ U و V.

به دلیل اینکه میزان امکان اجتماع دو مجموعه را می‌توان از میزان امکان هر جزء آن به دست آورد، می‌توان گفت که میزان امکان نسبت به عملگر اجتماع، «مولفه‌ای» است. البته توجه کنید که در حالت کلی میزان امکان نسبت به عملگر اشتراک مولفه‌ای نیست. در حالت کلی:

\operatorname{pos}(U \cap V) \leq \min \left(\operatorname{pos}(U),  \operatorname{pos}(V) \right)

اگر Ω نامتناهی باشد، اصل موضوع ۳ را می‌توان با اصل زیر جایگزین نمود:

برای هر مجموعه اندیس، I اگر زیر مجموعه‌های U_{i,\, i \in I}، دوبه دو مجزا باشند، \operatorname{pos}\left(\cup_{i 

\in I} U_i\right) = \sup_{i \in I}\operatorname{pos}(U_i).

ضرورت (لزوم)[ویرایش]

درحالی که در نظریه احتمالات، تنها از یک عدد (احتمال) برای توصیف میزان محتمل بودن وقوع یک پیشامد استفاده می‌شود، نظریه امکان از دو مفهوم استفاده می‌کند؛ امکان و ضرورت یک پیشامد. میزان ضرورت، برای هر مجموعه U، به صورت زیر تعریف می‌شود:

\operatorname{nec}(U) = 1 - \operatorname{pos}(\overline U)

در رابطه بالا \overline U نمایش دهندهٔ متمم مجموعه U است، یعنی عناصری از \Omega که متعلق به U نیست. می‌توان نشان داد:

\operatorname{nec}(U) \leq \operatorname{pos}(U) برای هر U

همچنین:

\operatorname{nec}(U \cap V) = \min (\operatorname{nec}(U), \operatorname{nec}(V))

توجه داشته باشید که بر خلاف نظریه احتمالات، میزان امکان دوحالته (دوپاره) نیست. یعنی، برای هر پیشامد U، تنها یک نابرابری بصورت زیر داریم:

\operatorname{pos}(U) + \operatorname{pos}(\overline U) \geq 1

با این حال قانون دوگانهٔ زیر برقرار است:

برای هر پیشامد U، تنها دو حالت داریم: \operatorname{pos}(U) = 1، یا \operatorname{nec}(U) = 0.

بنابراین، گمان‌های مربوط به یک پیشامد می‌تواند با یک عدد همراه با یکی از ارقام صفر یا یک بیان شود.

تعبیر[ویرایش]

در مورد ضرورت و امکان ۴ حالت زیر وجود دارند:

\operatorname{nec}(U) = 1 یعنی U ضرورت دارد. U مطمئنا درست است. در نتیجه : \operatorname

{pos}(U) = 1.

\operatorname{pos}(U) = 0 یعنی U امکان پذیر نیست. U مطمئنا نادرست است. در نتیجه : 

\operatorname{nec}(U) = 0.

\operatorname{pos}(U) = 1 یعنی U امکان پذیر است. تعجب آور نیست اگر U رخ دهد. در نتیجه: 

\operatorname{nec}(U) محدودیتی ندارد.

\operatorname{nec}(U) = 0 یعنی U ضرورت ندارد. تعجب آور نیست اگر U رخ ندهد. در نتیجه: 

\operatorname{pos}(U) محدودیتی ندارد.

اشتراک دو مورد آخر می‌شود: \operatorname{nec}(U) = 0 و \operatorname{pos}(U) = 1 یعنی، شخص باوری نسبت به U ندارد. توجه داشته باشید که منطق فازی برخلاف نظریه امکان، هم نسبت به اجتماع و هم نسبت به اشتراک مولفه‌ای است. ارتباط این نظریه با نظریه فازی را با مثال زیر می‌توان شرح داد:

  1. در منطق فازی: وقتی یک بطری تا نیمه پر است، می‌توان گفت میزان درستی عبارت «بطری پر است» برابر ۰٫۵ است. کلمهٔ «پر» بعنوان یک محمول فازی، میزان مایع درون بطری را توصیف می‌کند.
  2. در نظریه امکان: یک بطری وجود دارد که یا کاملاً پر و یا کاملاً خالی است. عبارت «میزان امکان پر بودن بطری ۰٫۵ است» درجه‌ای از اعتقاد را بیان می‌کند. یک راه برای تفسیر ۰٫۵ در عبارت فوق، با این تعریف است: حاضر هستم در مورد خالی بودن بطری شرط ببندم تا زمانی که نسبت بخت من ۱ به ۱ یا بهتر باشد ولی با هیچ نسبتی از بخت حاضر نیستم شرط ببندم بطری پر است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

مراجع[ویرایش]

  • Dubois, Didier and Prade, Henri, «Possibility Theory, Probability Theory and Multiple-valued Logics: A Clarification», Annals of Mathematics and Artificial

Intelligence ۳۲:۳۵-۶۶, ۲۰۰۱.

  • Gerla Giangiacomo, Fuzzy logic: Mathematical Tools for Approximate Reasoning, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001.
  • Zadeh, Lotfi, «Fuzzy Sets as the Basis for a Theory of Possibility», Fuzzy Sets and Systems ۱:۳-۲۸, ۱۹۷۸. (Reprinted in Fuzzy Sets and Systems ۱۰۰ (Supplement): ۹-۳۴, ۱۹۹۹.)