معادله درجه دو

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات به معادلات جبری با فرم عمومی زیر معادله درجه دو گفته می‌شود

ax^2+bx+c=0\,

که x\, بیانگر یک عدد متغیر و a , b , c\, اعداد ثابت و حقیقی با شرط 0≠ a\, هستند (در صورتی که a=0\, باشد معادله به یک معادله خطی تبدیل می‌شود)

انواع روش‌های حل معادله درجه ۲[ویرایش]

معادلات درجه دو با روش‌های فاکتورگیری، مربع کامل کردن، نمودار تابع(رسم نمودار)، روش نیوتون و روش‌های دیگر حل می‌شوند.

فاکتورگیری[ویرایش]

این روش موقعی کارایی مناسبی دارد که بتوان به طریقی با تقسیم کل معادله بر ضریب جمله x^2\, دو ثابت b\, و c\, ای به دست آورد که بین آن‌ها رابطه‌ای به شکل b=m+n\, و c=mn\,

به سرعت به ذهن‌مان برسد. به این روش که منتج شده از اتّحاد ریاضیاتی معروف به جمله مشترک است ، روش حل تجزیه‌ای هم گفته می‌شود. سپس معادله بر اساس این اتحاد به شکل (x+m)(x+n)=0\, در می‌آید و در این حالت به آسانی با برابر صفر قرار دادن هر پرانتز به جواب‌های x=-m , x=-n\, می‌رسیم.

مثال: می‌خواهیــم معادله 2x^2-8x+6=0\, را حل کنیم. ابتدا دو طرف را بر دو تقسیم می‌کنیم تا ضریب x^2\, یک شود. سپس در صدد یافتن m و n برمی‌آییم. x^2-4x+3=0\, همان‌طور که می‌بینیم -2=(-1)+(-3) , 3=(-1)(-3)\, پس جواب‌ها به صورت x=1 , x=3\, می‌باشند.


روش مربـّـع کامل کردن[ویرایش]

این روش بر مبنای یکی از معروف‌ترین اتّحادهای ریاضی ، معروف به اتحاد مربـّـع دوجمله‌ای به دست آمده‌است. برای هر دو عبارت ریاضی مثل A و B این اتحاد به این صورت ارائه می‌گردد: (A+B)^2=(A)^2+2(A)(B)+(B)^2\,

حال ما باید ax^2\, را به صورت (\sqrt {a}x)^2\, در نظر بگیریم و bx\, را به صورت 2(\sqrt {a}x)L\, و از آنجا L\, را به دست آورده و مقدار L^2\, را از طرف چپ معادله کم و زیاد کنــیم و پس از مرتب کردن و فاکتورگیــری ، معادله را به شکل

((\sqrt {a})x+L)^2+c-(L^2)=0\, درآوریم. که درصورتی معادله جواب حقیقی دارد که (L^2)-c\, مقداری مثبت یا صفر شود.

مثال : می‌خواهیم 4x^2+12x+5=0\, را حل کنــیم. (\sqrt {4}x+3)^2+5-9=0\, و سپس نتیجه می‌شود : (2x+3)^2=4\, و داریــــم: (2x+3)=+2 , (2x+3)=-2\, و از آنجا به دست می‌آوریم : x=-0.5 , x=-2.5\,

روش حل عمومی معادله درجه ۲[ویرایش]

راه حل عمومی آن به صورت زیر است:

x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

که نماد "±" به معنی هر دو است

x=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} و x=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

هر دو جواب‌هایی از معادله درجه ۲ هستند.

در صورتی که b^2-4ac کوچکتر از صفر باشد معادله جواب حقیقی ندارد و در صورتی که برابر صفر باشد دو حل به یک حل تبدیل شده و گفته می‌شود معادله یک ریشه مضاعف دارد.

اعداد ثابت p=\frac{-b}{a} و q=\frac{c}{a} به ترتیب بیانگر جمع و ضرب دو ریشه هستند.

منابع[ویرایش]

ریاضیات ۱ «سال اوّل دبــیرستان» ، مولفان ، اداره کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی ، لینک کتاب


پیوند به بیرون[ویرایش]