معادله درجه دو

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات به معادلات جبری با فرم عمومی زیر معادله درجه دو گفته می‌شود

ax^2+bx+c=0\,

که x\, بیانگر یک عدد متغیر و a , b , c\, اعداد ثابت و حقیقی با شرط 0≠ a\, هستند (در صورتی که a=0\, باشد معادله به یک معادله خطی تبدیل می‌شود)

انواع روش‌های حل معادله درجه دو[ویرایش]

معادلات درجه دو با روش‌های آزمون و خطا، فاکتورگیری و تجزیه، روش مربع کامل، روش هندسی،روش خوارزمی، نمودار تابع (رسم نمودار)، روش دلتا، روش نیوتون و روش‌های دیگر حل می‌شوند.

فاکتورگیری[ویرایش]

این روش موقعی کارایی مناسبی دارد که بتوان به طریقی با تقسیم کل معادله بر ضریب جمله x^2\, دو ثابت b\, و c\, ای به دست آورد که بین آن‌ها رابطه‌ای به شکل b=m+n\, و c=mn\,

به سرعت به ذهن‌مان برسد. به این روش که منتج شده از اتّحاد ریاضیاتی معروف به جمله مشترک است، روش حل تجزیه‌ای هم گفته می‌شود. سپس معادله بر اساس این اتحاد به شکل (x+m)(x+n)=0\, در می‌آید و در این حالت به آسانی با برابر صفر قرار دادن هر پرانتز به جواب‌های x=-m , x=-n\, می‌رسیم.

مثال: می‌خواهیم معادله 2x^2-8x+6=0\, را حل کنیم. ابتدا دو طرف را بر دو تقسیم می‌کنیم تا ضریب x^2\, یک شود. سپس در صدد یافتن m و n برمی‌آییم. x^2-4x+3=0\, همان‌طور که می‌بینیم -4=(-1)+(-3) , 3=(-1)(-3)\, پس جواب‌ها به صورت x=1 , x=3\, می‌باشند.

روش مربـّـع کامل کردن[ویرایش]

این روش بر مبنای یکی از معروف‌ترین اتّحادهای ریاضی، معروف به اتحاد مربـّـع دوجمله‌ای به دست آمده‌است. برای هر دو عبارت ریاضی مثل A و B این اتحاد به این صورت ارائه می‌گردد: (A+B)^2=(A)^2+2(A)(B)+(B)^2\,

حال ما باید ax^2\, را به صورت (\sqrt {a}x)^2\, در نظر بگیریم و bx\, را به صورت 2(\sqrt {a}x)L\, و از آنجا L\, را به دست آورده و مقدار L^2\, را از طرف چپ معادله کم و زیاد کنیم و پس از مرتب کردن و فاکتورگیری، معادله را به شکل

((\sqrt {a})x+L)^2+c-(L^2)=0\, درآوریم؛ که درصورتی معادله جواب حقیقی دارد که (L^2)-c\, مقداری مثبت یا صفر شود.

مثال: می‌خواهیم 4x^2+12x+5=0\, را حل کنیم. (\sqrt {4}x+3)^2+5-9=0\, و سپس نتیجه می‌شود: (2x+3)^2=4\, و داریم: (2x+3)=+2 , (2x+3)=-2\, و از آنجا به دست می‌آوریم: x=-0.5 , x=-2.5\,

روش حل عمومی معادله درجه ۲[ویرایش]

راه حل عمومی آن به صورت زیر است:

x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

که نماد "±" به معنی هر دو است

x=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} و x=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

هر دو جواب‌هایی از معادله درجه ۲ هستند.

در صورتی که b^2-4ac کوچکتر از صفر باشد معادله جواب حقیقی ندارد و در صورتی که برابر صفر باشد دو حل به یک حل تبدیل شده و گفته می‌شود معادله یک ریشه مضاعف دارد.

اعداد ثابت p=\frac{-b}{a} و q=\frac{c}{a} به ترتیب بیانگر جمع و ضرب دو ریشه هستند.

منابع[ویرایش]

ریاضیات ۱ «سال اوّل دبیرستان» ، مولفان، اداره کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی ، لینک کتاب

پیوند به بیرون[ویرایش]