فرمول لایب‌نیتز برای دترمینان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در جبر، فرمولِ لایب‌نیتز، دترمینانِ یک ماتریس مربعی A = (a_{ij})_{i,j = 1, \dots, n} را نشان می‌دهد. فرمول به افتخارِ گوتفرید لایبنیتس ریاضی‌دانِ آلمانی نام‌گذاری شده است و عبارت است از:

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{i,\sigma(i)}

برایِ یک ماتریسِ n×n که sgn تابع علامتِ مخصوصِ جایگشت‌ها در گروه جایگشت‌هایِ Sn است که مقدارِ +۱ یا -۱ را به ترتیب برایِ جایگشت‌های زوج یا جایگشت‌هایِ فرد برمی‌گرداند.

یک شیوه‌ی رایج دیگر از نشان‌گذاری آن، استفاده از نماد لوی-چیویتا است که با قرارداد جمع‌زنی اینشتین به رابطه‌ی زیر تبدیل می‌شود:

\det(A)=\epsilon^{i_1\cdots i_n}{A}_{1i_1}\cdots {A}_{ni_n},

که در بین فیزیک‌دانان کاربرد بیشتری دارد.

اثبات[ویرایش]

قضیه تنها یک تابع چون

 F : \mathfrak M_n (\mathbb K) \longrightarrow \mathbb K

وجود دارد که پادمتقارن است، نسبت به ستون‌ها خطی است و مقدار آن به ازایِ ماتریس همانی برابر است با ۱: F(I) = 1.

اثبات[ویرایش]

یکتایی: فرض می‌کنیم که F چنین تابعی باشد و قرار می‌دهیم A = (a_i^j)_{i = 1, \dots, n}^{j = 1, \dots , n} که یک ماتریسِ n \times n است. A^j را به عنوانِ jام از ماتریسِ A می‌خوانیم به عنوان مثال A^j = (a_i^j)_{i = 1, \dots , n}. بنابراین داریم: A = \left(A^1, \dots, A^n\right).

هم‌چنین قرارداد می‌کنیم که E^k ستونِ kام از ماتریسِ یکه را نشان دهد.

حال می‌توانیم هر یک از ستون‌هایِ A^jرا بر حسب E^k نمایش دهیم:

A^j = \sum_{k = 1}^n a_k^j E^k.

از آن‌جا که F خطی است داریم:


\begin{align}
F(A)& = F\left(\sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 E^{k_1}, A^2, \dots, A^n\right)\\
& = \sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 F\left(E^{k_1}, A^2, \dots, A^n\right)\\
& = \sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 \sum_{k_2 = 1}^n a_{k_2}^2 F\left(E^{k_1}, E^{k_2}, A^3, \dots, A^n\right)\\
& = \sum_{k_1, k_2 = 1}^n \left(\prod_{i = 1}^2 a_{k_i}^i\right) F\left(E^{k_1}, E^{k_2}, A^3, \dots, A^n\right)\\
& = \cdots\\
& = \sum_{k_1, \dots, k_n = 1}^n \left(\prod_{i = 1}^n a_{k_i}^i\right) F\left(E^{k_1}, \dots, E^{k_n}\right).
\end{align}

از پادمتقارن بودن ماتریس نتیجه می‌گیریم که اگر k_1 = k_2 آن‌گاه:


\begin{align}\\
 F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)  &= -F\left(\dots,E^{k_2},\dots,E^{k_1},\dots\right)\\
 F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)  &= -F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)\\
 F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)  &= 0
\end{align}

As the above sum takes into account all the possible choices of ordered n-tuples \left(k_1, \dots , k_n\right)، and because k_{i_1} = k_{i_2} implies that F is zero, the sum can be reduced from all tuples to جایگشت as

\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \left(\prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right) F(E^{\sigma(1)}, \dots , E^{\sigma(n)}).

Because F is alternating, the columns E can be swapped until it becomes the identity. The sign function \sgn(\sigma) is defined to count the number of swaps necessary and account for the resulting sign change. One finally gets:


\begin{align}
F(A)& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \left(\prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right) F(I)\\
& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i
\end{align}

as F(I) is required to be equal to 1.

Therefore no function besides the function defined by the Leibniz Formula is a multilinear alternating function with F\left(I\right)=1.

Existence: We now show that F, where F is the function defined by the Leibniz formula, has these three properties.

Multilinear:


\begin{align}
F(A^0, \dots, cA^j, \dots) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) ca_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\
& = c \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) a_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\
&=c F(A^0, \dots, A^j, \dots)\\
\\
F(A^0, \dots, b+A^j, \dots) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma)\left(b_j + a_{\sigma(j)}^j\right)\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\
& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma)
\left( \left(b_j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right) + \left(a_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right)\right)\\
& = \left(\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) b_j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right) 
  + \left(\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right)\\
&= F(A^0, \dots, b, \dots) + F(A^0, \dots, A^j, \dots)\\
\\
\end{align}

Alternating:


\begin{align}
F(\dots, A^{j_1}, \dots, A^{j_2}, \dots)
& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \left(\prod_{i = 1, i \neq j_1, i\neq j_2}^n a_{\sigma(i)}^i\right) a_{\sigma(j_1)}^{j_1} a_{\sigma(j_2)}^{j_2}\\
\end{align}

Now let \omega be the tuple equal to \sigma with the j_1 and j_2 indices switched. It follows from the definition of \sgn that \sgn(\sigma) = -sgn(\omega).


\begin{align}\\
F(\dots, A^{j_1}, \dots, A^{j_2}, \dots)
& = \sum_{\omega \in \mathfrak S_n} -\sgn(\omega) \left(\prod_{i = 1, i \neq j_1, i\neq j_2}^n a_{\omega(i)}^i\right) a_{\omega(j_1)}^{j_1} a_{\omega(j_2)}^{j_2}\\
& = -F(\dots, A^{j_2}, \dots, A^{j_1}, \dots)\\
\\
\end{align}

Finally، F(I)=1:


\begin{align}\\
F(I) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n I_{\sigma(i)}^i\\
& = \sum_{\sigma = (1,2,\dots,n)} \prod_{i = 1}^n I_{i}^i\\
& = 1
\end{align}

Thus the only functions which are multilinear alternating with F(I)=1 are restricted to the function defined by the Leibniz formula, and it in fact also has these three properties. Hence the determinant can be defined as the only function

 \det : \mathfrak M_n (\mathbb K) \longrightarrow \mathbb K

with these three properties.

References[ویرایش]