فرمول لایب‌نیتز برای دترمینان

در جبر، فرمولِ لایب‌نیتز، دترمینانِ یک ماتریس مربعی $A = (a_{ij})_{i,j = 1, \dots, n}$ را نشان می‌دهد. فرمول به افتخارِ گوتفرید لایبنیتس ریاضی‌دانِ آلمانی نام‌گذاری شده است و عبارت است از:

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{i,\sigma(i)}$

برایِ یک ماتریسِ n×n که sgn تابع علامتِ مخصوصِ جایگشت‌ها در گروه جایگشت‌هایِ S_n است که مقدارِ +۱ یا -۱ را به ترتیب برایِ جایگشت‌های زوج یا جایگشت‌هایِ فرد برمی‌گرداند.

یک شیوه‌ی رایج دیگر از نشان‌گذاری آن، استفاده از نماد لوی-چیویتا است که با قرارداد جمع‌زنی اینشتین به رابطه‌ی زیر تبدیل می‌شود:

$\det(A)=\epsilon^{i_1\cdots i_n}{A}_{1i_1}\cdots {A}_{ni_n},$

که در بین فیزیک‌دانان کاربرد بیشتری دارد.

اثبات

قضیه تنها یک تابع چون

$F : \mathfrak M_n (\mathbb K) \longrightarrow \mathbb K$

وجود دارد که پادمتقارن است، نسبت به ستون‌ها خطی است و مقدار آن به ازایِ ماتریس همانی برابر است با ۱: $F(I) = 1$.

اثبات

یکتایی: فرض می‌کنیم که $F$ چنین تابعی باشد و قرار می‌دهیم $A = (a_i^j)_{i = 1, \dots, n}^{j = 1, \dots , n}$ که یک ماتریسِ $n \times n$ است. $A^j$ را به عنوانِ $j$ام از ماتریسِ $A$ می‌خوانیم به عنوان مثال $A^j = (a_i^j)_{i = 1, \dots , n}$. بنابراین داریم: $A = \left(A^1, \dots, A^n\right).$

هم‌چنین قرارداد می‌کنیم که $E^k$ ستونِ $k$ام از ماتریسِ یکه را نشان دهد.

حال می‌توانیم هر یک از ستون‌هایِ $A^j$را بر حسب $E^k$ نمایش دهیم:

$A^j = \sum_{k = 1}^n a_k^j E^k$.

از آن‌جا که $F$ خطی است داریم:

$\begin{align} F(A)& = F\left(\sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 E^{k_1}, A^2, \dots, A^n\right)\\ & = \sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 F\left(E^{k_1}, A^2, \dots, A^n\right)\\ & = \sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 \sum_{k_2 = 1}^n a_{k_2}^2 F\left(E^{k_1}, E^{k_2}, A^3, \dots, A^n\right)\\ & = \sum_{k_1, k_2 = 1}^n \left(\prod_{i = 1}^2 a_{k_i}^i\right) F\left(E^{k_1}, E^{k_2}, A^3, \dots, A^n\right)\\ & = \cdots\\ & = \sum_{k_1, \dots, k_n = 1}^n \left(\prod_{i = 1}^n a_{k_i}^i\right) F\left(E^{k_1}, \dots, E^{k_n}\right). \end{align}$

از پادمتقارن بودن ماتریس نتیجه می‌گیریم که اگر $k_1 = k_2$ آن‌گاه:

$\begin{align}\\ F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right) &= -F\left(\dots,E^{k_2},\dots,E^{k_1},\dots\right)\\ F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right) &= -F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)\\ F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right) &= 0 \end{align}$

As the above sum takes into account all the possible choices of ordered $n$-tuples $\left(k_1, \dots , k_n\right)$، and because $k_{i_1} = k_{i_2}$ implies that F is zero, the sum can be reduced from all tuples to جایگشت as

$\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \left(\prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right) F(E^{\sigma(1)}, \dots , E^{\sigma(n)}).$

Because F is alternating, the columns $E$ can be swapped until it becomes the identity. The sign function $\sgn(\sigma)$ is defined to count the number of swaps necessary and account for the resulting sign change. One finally gets:

$\begin{align} F(A)& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \left(\prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right) F(I)\\ & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i \end{align}$

as $F(I)$ is required to be equal to $1$.

Therefore no function besides the function defined by the Leibniz Formula is a multilinear alternating function with $F\left(I\right)=1$.

Existence: We now show that F, where F is the function defined by the Leibniz formula, has these three properties.

Multilinear:

$\begin{align} F(A^0, \dots, cA^j, \dots) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) ca_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\ & = c \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) a_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\ &=c F(A^0, \dots, A^j, \dots)\\ \\ F(A^0, \dots, b+A^j, \dots) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma)\left(b_j + a_{\sigma(j)}^j\right)\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\ & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \left( \left(b_j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right) + \left(a_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right)\right)\\ & = \left(\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) b_j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right) + \left(\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right)\\ &= F(A^0, \dots, b, \dots) + F(A^0, \dots, A^j, \dots)\\ \\ \end{align}$

Alternating:

$\begin{align} F(\dots, A^{j_1}, \dots, A^{j_2}, \dots) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \left(\prod_{i = 1, i \neq j_1, i\neq j_2}^n a_{\sigma(i)}^i\right) a_{\sigma(j_1)}^{j_1} a_{\sigma(j_2)}^{j_2}\\ \end{align}$

Now let $\omega$ be the tuple equal to $\sigma$ with the $j_1$ and $j_2$ indices switched. It follows from the definition of $\sgn$ that $\sgn(\sigma) = -sgn(\omega)$.

$\begin{align}\\ F(\dots, A^{j_1}, \dots, A^{j_2}, \dots) & = \sum_{\omega \in \mathfrak S_n} -\sgn(\omega) \left(\prod_{i = 1, i \neq j_1, i\neq j_2}^n a_{\omega(i)}^i\right) a_{\omega(j_1)}^{j_1} a_{\omega(j_2)}^{j_2}\\ & = -F(\dots, A^{j_2}, \dots, A^{j_1}, \dots)\\ \\ \end{align}$

Finally، $F(I)=1$:

$\begin{align}\\ F(I) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n I_{\sigma(i)}^i\\ & = \sum_{\sigma = (1,2,\dots,n)} \prod_{i = 1}^n I_{i}^i\\ & = 1 \end{align}$

Thus the only functions which are multilinear alternating with $F(I)=1$ are restricted to the function defined by the Leibniz formula, and it in fact also has these three properties. Hence the determinant can be defined as the only function

$\det : \mathfrak M_n (\mathbb K) \longrightarrow \mathbb K$

with these three properties.

References

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Determinant", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/D/d031410.htm 
• Lloyd N. Trefethen and David Bau، Numerical Linear Algebra (SIAM، 1997).