درون (توپولوژی)

نقطهٔ x یک نقطهٔ درونی مجموعه S و نقطهٔ y نقطه‌ای بر روی مرز مجموعه S است.

در ریاضیات، درونِ مجموعه‌ای مانند S در یک فضای توپولوژیک، شامل تمام نقاط S است که به مرز آن تعلق ندارند. نقطهٔ p یک نقطهٔ درونی مجموعهٔ S است هرگاه یک همسایگی (گوی باز) از p مانند N وجود داشته باشد بطوری که N ⊂ S.‏ مجموعهٔ نقاط درونی S را با ^°S نمایش می‌دهیم.

دانستنی‌ها

فرض کنیم X یک فضای متری و S ⊂ X و A و B نیز دو زیرمجموعه X:

• S باز است هرگاه هر نقطهٔ S یک نقطهٔ درونی‌اش باشد.
• ^°S مجموعه‌ای باز است.
• ^°S بزرگترین مجموعه بازی است که جزء S می‌باشد.
• S باز است اگر و تنها اگر S = S^°‏.
• (S^°)^° = S^° و (A ∩ B)^° = A^° ∩ B^°.
• A^° ∪ B^° ⊆ (A ∪ B)^°.‏

مثال‌ها

• اگر X فضای اقلیدسی $\mathbb {R}$ از اعداد حقیقی باشد، آنگاه [۰,۱]^°= (۰,۱).‏
• اگر X فضای اقلیدسی $\mathbb {R}$ ازاعداد حقیقی باشد، آنگاه درون $\mathbb {Q}$ (مجموعه اعداد گویا)، تهی می‌شود.

جستارهای وابسته

• نقطه حدی

منابع

• بارتل، رابرت ج.؛ شربرت، دانلد ر. (۱۳۷۸). آشنایی با آنالیز حقیقی. ترجمهٔ طاهر قاسمی هنری و حکیمه ماهیار. تهران: فاطمی. شابک ۹۶۴-۴۸۶-۰۹۰-X.
• رودین، والتر (۱۳۸۵). اصول آنالیز ریاضی. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: انتشارات علمی و فنی. شابک ۹۶۴-۶۲۱۵-۰۰-۹.
• مدقالچی، علیرضا (۱۳۸۸). آنالیز ریاضی ۱. تهران: دانشگاه پیام نور. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵.

• Wikipedia contributors, "Interior (topology)," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Interior_(topology)&oldid=622419738 (accessed September 16, 2014).