تبدیل هیلبرت

در ریاضیات، تبدیل هیلبرت، عملگری خطی است که بر تابعی همچون (u(t عمل کرده و [(H[u(t را نتیجه می‌دهد. این تبدیل به افتخار دیوید هیلبرت تبدیل هیلبرت نامیده شد. هیلبرت برای اولین از این تبدیل برای حل حالت خاصی از مسأله ریمن−هیلبرت استفاده کرد. در پردازش سیگنال از تبدیل هیلبرت برای یافتن سیگنال تحلیلی یک سیگنال استفاده می‌شود.

تبدیل هیلبرت (قرمز) موج مربعی (آبی)

تبدیل فوریه توابع منتخب

سیگنال $u(t)\,$	تبدیل هیلبرت۲ $H(u)(t)\,$
$\sin(t)\,$ ۱	$-\cos(t)\,$
$\cos(t)\,$ ۱	$\sin(t)\,$
$1 \over t^2 + 1$	$t \over t^2 + 1$
تابع سینک $\sin(t) \over t$	$1- \cos(t)\over t$
تابع مستطیلی $\sqcap(t)$	${1 \over \pi} \ln \left | {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}} \right |$
تابع دلتای دیراک $\delta(t) \,$	${1 \over \pi t}$
تابع مشخصه $\chi_{[a,b]}(x) \,$	$\frac{1}{\pi}\log \left \vert \frac{x-a}{x-b}\right \vert \,$

توضیحات:

^۱ تبدیل هیلبرت توابع sin و cos را می‌توان از نقطه نظر توزیعی در نظر گرفت، در غیر اینطورت انتگرال مربوطه بصورت مشروط همگرا است. اما اگر حدود انتگرال به صورت تناوبی تعریف شوند مشکل به طور کامل حل می‌شود.

^۲ در برخی از منابع تبدیل هیلبرت با اختلاف در یک علامت منفی تعریف شده است. در اینصورت ستون چپ در یک منفی ضرب می‌شود.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Hilbert transform»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۲ اوت ۲۰۰۸).