تابع چندضابطه‌ای

در ریاضیات، تابع چندضابطه‌ای به تابعی گفته می‌شود که تعریف‌اش بسته به مقدار متغیر مستقل (ورودی تابع) متفاوت باشد.

نمادگذاری

نمودار تابع قدرمطلق ‎ y = |x|‎.

تابع‌های چندضابطه‌ای در نمادگذاری رایج ریاضی، به شکل آرایه‌ای از تابع‌ها و در کنارشان زیردامنهٔ مربوط به آن تابع مشخص می‌شوند. برای نمونه، تابع قدر مطلق را می‌توان به شکل زیر مانند یک تابع چندضابطه‌ای بیان کرد:

$|x| \equiv f(x) = \begin{cases} -x, & \mbox{if } x < 0 \\ x, & \mbox{if } x \ge 0 \end{cases}$

برای همهٔ مقدارهای x کوچک‌تر از صفر، نخستین تعریف ‎(−x)‎ به کار می‌رود که علامت مقدار ورودی تابع را برعکس می‌کند. برای همهٔ xهای بزرگ‌تر یا برابر با صفر، دومین تابع ‎(x)‎ به کار می‌رود که مقدار ورودی تابع را برمی‌گرداند.

پیوستگی

یک تابع چندضابطه‌ای با دو زیرتابع درجهٔ دوی متفاوت در دو سمت $x_0$.

یک تابع چندضابطه‌ای روی بازهٔ دلخواه پیوسته است اگر شرط‌های زیر برقرار باشد:

• تابع در آن بازه تعریف شده باشد.
• هر یک از زیرتابع‌های آن روی آن بازه پیوسته باشند.
• هیچ ناپیوستگی‌ای در نقاط پایانی زیردامنه‌های تابع روی آن بازه وجود نداشته باشد.

برای نمونه، تابع چندضابطه‌ای در شکل روبه‌رو در زیردامنه‌هایش پیوسته است، ولی در کل دامنه‌اش پیوسته نیست زیرا در نقطهٔ‌ $x_0$ ناپیوستگی‌ای به شکل جهش دارد.

همچنین ببینید

نمونه‌هایی از تابع‌های چندضابطه‌ای:

• قدر مطلق
• تابع پله، تابع پله‌ای هویساید
• تابع علامت

منبع

• Weisstein, Eric W. "Piecewise Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.