تابع پله‌ای

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از تابع پله)
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات یک تابع بر روی اعداد حقیقی تابع پله خوانده می شود اگر بتوان آن را به صورت ترکیب خطی متناهی از توابع مشخصه فاصله ها نوشت. به زبان ساده تر، یک تابع پله یک تابع ثابت تکه ای است که تعداد تکه‌های متناهی باشد.

مثالی از یک تابع پله ای (خط قرمز). این تابع پله پیوسته از راست است.





تعریف و نتایج ابتدایی[ویرایش]

تابعی مثل f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}، یک تابع پله خوانده می‌شود اگر بتوان آنرا به شکل زیر نوشت

f(x) = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}(x)\, for all real numbers x

که n\ge 0 و \alpha_i\, اعداد حقیقی، A_i فاصله، و \chi_A\, تابع مشخصه A هستند:

\chi_A(x) =
\begin{cases}
1 & \mbox{if } x \in A, \\
0 & \mbox{if } x \notin A. \\
\end{cases}

در این تعریف، فاصله‌های A_i را می توان دارای خواص زیر دانست:

  1. فاصله‌ها گسسته هستند، A_i\cap A_j=\emptyset برای i\ne j
  2. اتحاد فاصله‌ها برابر کل خط حقیقی (محور حقیقی) است، \cup_{i=0}^n A_i=\mathbb R..

در واقع، اگر نقطه شروعمان متفاوت باشد، می توان مجموعه ای از فاصله‌های مختلف را در نظر گرفت که فرض‌ها در مورد آنها صدق کنند. برای مثال، تابع پله

f = 4 \chi_{[-5, 1)} + 3 \chi_{(0, 6)}\,

را می توان به شکل زیر نوشت

f = 0\chi_{(-\infty, -5)} +4 \chi_{[-5, 0]} +7 \chi_{(0, 1)} + 3 \chi_{[1, 6)}+0\chi_{[6, \infty)}.\,

مثال‌ها[ویرایش]

تابع پله هویساید یک تابع پله ای است که زیاد استفاده دارد.
  • یک تابع ثابت مثال کوچکی از یک تابع پله است. در نتیجه، تنها یک فاصله وجود دارد، A_0=\mathbb R.
تابع مستطیلی، تابع پله ای ساده دیگر.
  • تابع مستطیلی، صورت نرمال شده تابع قوطی یک مثال از تابع پله واحد ساده است و برای مدل کردن تابع پالس مورد استفاده قرار می گیرد.


مثال‌های اشتباه[ویرایش]

  • تابع قسمت صحیح با توجه به این مقاله یک تابع پله نیست، زیرا دارای تعداد بینهایت فاصله است. ولی، برخی توابه پله ای تعریف می کنند که دارای تعداد بینهایت فاصله است. * [۱].

خواص[ویرایش]

  • ششجمع و ضرب دو تابع پله ای یک تابع پله ای است. حاصلضرب یک تابع پله ای با یک عدد نیز همچنان یک تابع پله ای است. در نتیجه تابع پله ای بر روی اعداد حقیقی یک جبر را تشکیل می دهد.
  • یک تابع پله ای تنها تعداد متناهی از اعداد را می پذیرد. اگر فاصله‌های A_i,، به ازای i=0, 1, \dots, n, در تعریف بالا از تابع پله متفاوت باشند و جمع آن محور حقیقی باشد، آنگاهبه ازای x\in A_i داریم f(x)=\alpha_i\,
  • انتگرال لبسگو یک تابع پله \textstyle f = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}\, برابر \textstyle \int \!f\,dx = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \ell(A_i),\, است که \ell(A) طول A, است و در اینجا فرض می کنیم که کل فاصله‌های A_i دارای طول متناهی هستند. در واقع این تساوی (که به ما به عنوان تعریف به آن نگاه می کنیم) می توانند اولین قدم در ساخت انتگرال لبسگو هستند.[۲]

See also[ویرایش]

References[ویرایش]

  1. for example see: Bachman, Narici, Beckenstein. "Example 7.2.2". Fourier and Wavelet Analysis. Springer, New York, 2000. ISBN 0-387-98899-8. 
  2. Weir, Alan J. Lebesgue integration and measure. Cambridge University Press, 1973. ISBN 0-521-09751-7.