تابع سینک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، تابع سینک (که با (sinc(x و گاهی با (Sa(xنشان داده می‌شود) دو تعریف نسبتاً معادل همدیگر دارد. در پردازش سیگنال رقمی و نظریه اطلاعات تابع سینک نرمال شده معمولاً با رابطه زیر تعریف می‌شود:

\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\,\!

این تعریف نام نرمال شده را به این دلیل یدک می‌کشد که انتگرال گیری بر روی تمام x به مقدار واحد منجر می‌شود. تبدیل فوریه تابع نرمال شده سینک با تابع مستطیلی شناخته می‌شود.

در ریاضیات تابع سینک غیر نرمال شده باستانی به صورت زیر تعریف می شود:

\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}\,\!

تنها تفاوت بین این دو تعریف مقیاس دهی متغیر مستقل (همان محور x) با عامل ضرب شونده π است. در هر دو حالت، مقدار تابع در ناتکینی قابل رفع در نقطه صفر گاهی به طور خاص در حد برابر با ۱ مشخص می شود.[۱] تابع سینک در همه جا تحلیلی است.

عبارت "sinc" که دارای تلفظ (آوایش انگلیسی: /ˈsɪŋk/) است، از قطع انتهای تام لاتین کامل تابع که sinus cardinalis (همان cardinal sine انگلیسی) است بدست آمده است.

خواص[ویرایش]

The normalized sinc (blue) and unnormalized sinc function (red) shown on the same scale from x = −6π to 6π.

عبور از صفر (zero crossing) تابع سینک غیرنرمال شده در مضارب π؛ تلاقی با محور تابع سینک نرمال شده در اعداد صحیح غیر صفر.

نقاط ماکزیزم و مینیمم نسبی تابع سینک نرمال نشده متناظر است با نقاط تقاطع آن با تابع کسینوس. یعنی، (sin(ξ)/ξ = cos(ξ به ازای تمام ξهایی که مشتق sin(x)/x در آنها صفر راست (که در نتیجه به یک اکسترمم نسبی رسیده ایم).

تابع سینک نرمال شده دارای یک نمایش ساده در حالت ضرب نامحدود است:

\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)\,\!

و توسط فرمول انعکاس اولر با تابع گامای \Gamma مرتبط می شود:

\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}.\,\!

اولر کشف کرد که

\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right).

تبدیل فوریه پیوسته زمان تابع سینک نرمال شده (نسبت به فرکانس معمولی) (rect(f است،

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \mathrm{rect}(f),\,\!

که پاسخ تابع مستطیلی بین minus;1/2& و 1/2 برابر 1 است، و در سایر مناطق برابر صفر است. این مسئله متناظر با ین واقعیت است که فیلتر سینک (دیوار آجری یعنی پاسخ فرکانسی مربعی) یک فیلتر پایین گذر ایده آل است. انتگرال فوریه مذکور، با در نظر گرفتن حالت خاص زیر

\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \mathrm{rect}(0) = 1\,\!

یک انتگرال اولیه است و یک انتگرال همگرای wikipedia:Lebesgue integral نیست

\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right|\, dx = +\infty.

تابع سینک نرمال شده خواصی دارد که آنرا در رابطه با میانیابی نمونه برداری توابع محدود باند ایده آل می سازد:

ωH = π (یعنی فرکانس دوره ای حداکثر ƒH = 1/2).

خواص دو تابع سینک دیگر به شرح زیر است:

  • تابع سینک غیرنرمال شده، تابع بسل کروی درجه صفرth از نوع اول است، \scriptstyle j_0(x). تابع سینک نرمال شده (j0(πx است
  •  \int_0^x \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \mathrm{Si}(x) \,\!

که (Si(x انتگرال سینوسی است.

x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.\,\!

تابع دیگر cos(λ x)/x است، که به x = 0 محدود است، برعکس تابع سینک همراهش:

  •  \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \,\! \rightarrow \int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}^2(x)\,dx = 1

که تابع سینک نرمال شده واسط (meant) است.

  •  \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4} \,\!
  •  \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3} \,\!

ارتباط با توزیع دلتای دیراک[ویرایش]

تابع سینک نرمال شده را می توان به عنوان مولد تابع دلتا استفاده کرد، در صورتی که حد ضعف زیر برقرار باشد:

\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)=\delta(x).

حد اشاره شده در بالا یک حد معمولی نیست، زیرا سمت چپ این حد همگرا نیست. در عوض می توان گفت

\lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)\varphi(x)\,dx
            = \varphi(0),

برای هر تابع هموار \scriptstyle \varphi(x) با compact support برقرار است.

در عبارت بالا، در حالی که a به صفر میل می کند، تعداد نوسان در واحد طول تابع سینک به بینهایت نزدیک می شود. با این حال، عبارت مذکور همیشه در داخل پوش (π a x)/1 ± قرار دارد، و برای هر مقدار غیر صفر x به صفر میل می کند. این عمل تصویر غیررسمی (δ(x را که برای هر x غیر از x = 0 صفر است را پیچیده می کند، و مسئله تجسم تابع دلتا را به صورت تابع ( و نه یک توزیع) ساده می کند. مفهوم مشابهی را در مفهوم گیبس می توان یافت.

پیوندهای مرتبط[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. W. Michael Kelley (2002). The complete idiot's guide to calculus. Alpha Books. p. 144. ISBN 9780028643656. 

پیوندهای خارجی[ویرایش]

  • {{wikipedia:MathWorld|title=Sinc Function|urlname=SincFunction}}

<nowiki>اینجا متن قالب‌بندی‌نشده وارد شود</nowiki>