افراز مجموعه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در نظریه مجموعه‌ها اِفراز یک مجموعه (به انگلیسی: Partition of a set) یعنی تبدیل کردن آن به زیرمجموعه‌هایش به طوری که، اشتراک هر کدام از آن زیرمجموعه‌ها با یکدیگر مجموعه تهی باشد (مجموعه‌های مجزا) و اجتماع تمامی زیر مجموعه‌ها برابر با مجموعه افراز شده باشد.

افراز بر روی دایره

مثال[ویرایش]

مجموعه‌های P = \left\{\left\{1,5\right\},\left\{2,4,6\right\},\left\{8,9\right\}\right\} افراز مجموعهٔ M = \left\{1,2,4,5,6,8,9\right\} می‌باشند، اما برای \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} افراز درستی نیستند، زیرا ۳ و ۷ عضوی از زیرمجموعه‌های موجود در P نیستند. مجموعه‌های \left\{\left\{1,2\right\},\left\{2,3\right\}\right\} افرازی از هیچ مجموعه‌ای نمی‌باشند، چون {1,2} و {2,3} مجموعه‌هایی مجزا نیستند.

افرازهای {1, 2, 3} :

  • \left\{\left\{1, 2, 3\right\}\right\}
  • \left\{\left\{1, 2\right\}, \left\{3\right\}\right\}
  • \left\{\left\{1\right\}, \left\{2, 3\right\}\right\}
  • \left\{\left\{1, 3\right\}, \left\{2\right\}\right\}
  • \left\{\left\{1\right\}, \left\{2\right\}, \left\{3\right\}\right\}

افراز مجموعهٔ تهی، تنها خود مجموعهٔ تهی است.

تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی[ویرایش]

برای یافتن تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی از عدد بل B_n (به یاد اریک تمپل بل) استفاده می‌شود :

B_0 = 1, \quad B_1 = 1, \quad B_2 = 2, \quad B_3 = 5, \quad B_4 = 15, \quad B_5 = 52, \quad B_6 = 203, \quad\ldots [۱]

پانویس[ویرایش]

  1. دنبالهٔ A000110 در OEIS

منبع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Partition (Mengenlehre)»، ویکی‌پدیای آلمانی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۳ آوریل ۲۰۱۱).