مجموعه‌های مجزا

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در نظریه مجموعه‌ها دو مجموعهٔ A و B مجموعه‌های مجزا (به انگلیسی: Disjoint sets) هستند، دارای هیچ عضو مشترکی نباشند. چند مجموعه به صورت زوج مجزا هستند اگر هر جفت دوتایی از آن‌ها دارای عضو مشترک نباشد.

تعریف[ویرایش]

مجموعه‌های A و B مجزا هستند، زمانی که اشتراک آن‌ها مجموعهٔ تهی باشد، در این صورت داریم:

A\cap B=\emptyset

یک خانواده (M_i)_{i\in I} (مجموعه‌ای از مجموعه‌ها) زمانی مجزا است که تمامی اعضای آن جفت-جفت مجزا باشند، در این صورت داریم:

 M_i \cap M_j = \emptyset برای \!\,i \ne j و i,j\in I

اگر اجتماع این مجموعه‌ها را در نظر بگیریم، آنگاه اجتماع مجموعه‌های مجزا به دست می‌آید که به شکل زیر است:

M=\dot{\bigcup_{i \in I}}M_i

اگر اعضای خانواده مجموعهٔ تهی نباشند، در این صورت به افراز مجموعه M می‌رسیم.

به صورت همانند می‌توان به جای خانواده مجموعه‌ها از سیستم مجموعه‌ها هم استفاده کرد.

مثال[ویرایش]

  • مجموعه‌های A = \{1, 2, 3\} و B = \{7, 8, 11\} مجزایند، چون هیچ عضو مشترکی ندارد.
  • مجموعه‌های A = \{1, 2, 7\} و B = \{6, 7, 8, 11\} مجزا نیستند، چون دارای عضو مشترک 7 هستند.
  • سه مجموعهٔ A = \{1, 2, 3\}، B = \{4, 5\} و C = \{5, 6, 7\} به صورت جفت مجزا نیستند، چون حداقل یکی از اشتراک‌های آن‌ها (B \cap C) مجموعهٔ غیرتهی است.

افراز زیر، افرازی نامتناهی از مجموعه‌های مجزا است که اعداد صحیح را شکل می‌دهند:

\{0\}, \{1, -1\}, \{2, -2\}, \{3, -3\}, \{4, -4\}, \ldots.

خصوصیات[ویرایش]

منبع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Disjunkt»، ویکی‌پدیای آلمانی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۴ آوریل ۲۰۱۱).