اعداد موافق

اعداد موافق (به انگلیسی: amicable numbers)‏ دو عدد هستند که جمع مقسوم علیه‌های یکی به غیر از خودش برابر دیگری باشد.

اعداد موافق، "دنبالهٔ عاد کننده” ای (به انگلیسی: aliquot sequence)‏ با دو جمله تشکیل می‌دهند. (دنبالهٔ عاد کننده دنباله ای است که هر عدد مجموع مقسوم علیه‌های عدد قبلی، غیر از خودش، می‌باشد)

درضمن، یک "عدد کامل" (به انگلیسی: perfect number)‏(که خودش مجموع مقسوم علیه‌هایش، به غیر از خودش، می‌باشد) یک دنبالهٔ عاد کننده یک جمله ای تشکیل می‌دهد. اعدادی که جزوی از دنبالهٔ عاد کننده ای با تعداد جملات بیش از ۲ هستند، “اعداد اجتماعی”(به انگلیسی: sociable numbers)‏ نامیده می‌شوند.

اولین زوج‌های موافق به ترتیب عبارت اند از: (۲۲۰, ۲۸۴), (۱۱۸۴, ۱۲۱۰), (۲۶۲۰, ۲۹۲۴), (۵۰۲۰, ۵۵۶۴), (۶۲۳۲, ۶۳۶۸)

تاریخچه

اعداد موافق نزد پیروان مکتب فیثاغوری شناخته شده بودند و آنها به این اعداد ویژگی‌های عرفانی نسبت داده بودند.

فرمولی کلی برای یافتن این اعداد توسط ثابت بن قره(۲۲۱-۲۲۸ق)کشف شد. ریاضی دانان عرب دیگری چون مسلمه المجریطی (۳۵۰-۴۰۹ ه. ق)، ابن طاهر بغدادی (۳۶۹- ۴۲۸ ه. ق.) و کمال‌الدین فارسی (۶۶۵- ۷۱۸ ه. ق.) نیز درمورد اعداد موافق مطالعه کردند.

ریاضی دان ایرانی، محمد باقر یزدی، زوج (۹۳۶۳۵۸۴, ۹۴۳۷۰۵۶) را یافت، علی رغم اینکه کشف این زوج معمولا به دکارت نسبت داده شده.

قاعده ثابت بن قره دوباره توسط پییر دو فرما (۱۶۰۱–۱۶۶۵ م.) و دکارت (۱۵۹۶– ۱۶۵۰ م.) کشف شد که معمولا به آنها نسبت داده شده‌است. این قاعده بعدها توسط اویلر کامل تر شد و در سال ۱۹۷۰ توسط "بورهو" (به انگلیسی: Borho)‏ باز هم کامل تر شد. پییر دو فرما و دکارت همچنین زوج‌هایی موافق را کشف کردند که قبل تر توسط ریاضی دانان عرب کشف شده بود. کوچکترین زوج بعدی، (۱۱۸۴, ۱۲۱۰) در سال ۱۸۶۶ توسط B. Nicolò I. Paganini کشف شد.

در سال ۱۹۴۶، ۳۹۰ زوج کشف شده بودند اما ظهور کامپیوتر، کشف هزاران زوج دیگر را میسر کرد. در سال ۲۰۰۷ حدود ۱۲٬۰۰۰٬۰۰۰ زوج شناخته شده بودند.

یافتن اعداد موافق

برای یافتن اعداد موافق، قواعدی کشف شده‌اند که می توان با آنها تعدادی از زوج‌های موافق را پیدا کرد.

قاعده “ثابت بن قره”

اولین قاعده “قاعده ثابت بن قره” هست که طبق آن:

   p = ۳ × ۲n − 1 − ۱,
   q = ۳ × ۲n − ۱,
   r = ۹ × ۲2n − 1 − ۱

که در آن، n>۱ عدد صحیح و p و q و r عدد اول اند. در نتیجه ۲ⁿ×p×q و ۲ⁿ×r زوجی موافق اند. این قاعده، زوج‌های (۲۲۰, ۲۸۴) (۱۷۲۹۶, ۱۸۴۱۶) (۹۳۶۳۵۸۴, ۹۴۳۷۰۵۶) به ترتیب با nهای ۲, ۴ و ۷ را بدست می‌دهد، ولی هیچ زوج موافق دیگری هنوز با آن پیدا نشده.

اعدادی به شکل ۳ × ۲n − 1 به “اعداد ثابت” (منظور از ثابت، ثابت بن قره هست) معروف اند. برای این که این قاعده یک زوج موافق بدست بدهد، دو عدد ثابت متوالی باید عدد اول باشند.

*قاعده “اویلر”

قاعده اویلر حالت کلی تر قاعده “ثابت بن قره” است.

   p = (۲(n - m)+۱) × ۲m − ۱,
   q = (۲(n - m)+۱) × ۲n − ۱,
   r = (۲(n - m)+۱)۲ × ۲m + n − ۱,

در این فرمول، n>m>۰ عدد صحیح و p و q و r عدد اول اند. ۲ⁿ×p×q و ۲ⁿ×r نیز زوجی موافق اند که بدست می‌آیند.

قاعده “ثابت بن قره” مشابه حالتی از قاعده اویلر است که m=n-1.

با قاعده اویلر، دو زوج (۱٬۸), (۲۹٬۴۰) نیز پیدا شده‌اند اما هنوز هیچ زوج دیگری بوسیله این قاعده یافته نشده‌است.

زوج‌های باقاعده

اگر (m,n) زوجی موافق باشد که m>n آنگاه m=gM و n=gNرا در نظر بگیرید که g بزرگترین مقسوم علیه مشترک m و n است. اگر M و N هردو نسبت به g متباین و همچنین هردو بر هیچ مربع کاملی بخش پذیر نباشند (به عددی که به هیچ مربع کاملی بخش پذیر نیست، square free numbers می گویند)، این زوج موافق، با قاعده و در غیر این صورت بی قاعده‌است.

اگر (m,n) زوجی با قاعده باشد و i و j به ترتیب عوامل اول M و N باشند، آنگاه (m,n) زوجی از نوع (i,j) نامیده می‌شود. مثلا اگر(m,n)=(220,284)، بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها ۴ است، پس M=55 و N=۷۱ می‌باشند، پس (۲۲۰, ۲۸۴) زوجی با قاعده از نوع (۲, ۱)می‌باشد.

نتایج دیگر

1. تمام روج‌های موافق شناخته شده، یا هردو زوج یا هردو فرد اند، هنوز نمی دانیم که آیا زوجی موافق بصورت زوج-فرد وجود دارد یا خیر. اگر چنین زوجی وجود داشته باشد، عدد زوج باید یک مربع کامل یا دو برابر آن باشد و عدد فرد نیز، یک مربع کامل باشد.
2. اعداد هر زوج، حد اقل یک عامل مشترک بزرگتر از یک دارند.
3. هنوز نمی دانیم آیا زوج موافق متباینی وجود دارد یا خیر، ولی اگر چنین باشد، حاصلضرب آن دو باید بیشتر از ۱۰^۶۷ باشد، درضمن چنین زوجی نمی‌تواند از قاعده “ثابت بن قره” یا قاعده‌ای مشابه بدست آمده باشد.

منابع

• این مقاله برگرفته از بریتانیکا، ويراست یازدهم، است که در حال حاضر حقوق نشر آن در مالکیت عمومی می باشد.

• Wells, D. (1987). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (pp.  145–147). London: Penguin Group.
• Eric W. Weisstein, Amicable Pair at MathWorld.
• Weisstein, Eric W., Thâbit ibn Kurrah Rule at MathWorld.
• Weisstein, Eric W., Euler's Rule at MathWorld.