عدد کامل

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در نظریه اعداد، عدد کامل، یک عدد صحیح مثبت است که برابر با مجموع مقسوم‌علیه‌های سرهٔ مثبت خود (همهٔ مقسوم‌علیه‌های مثبتش غیر از خود عدد) باشد. همچنین به طور هم ارز، یک عدد کامل، عددی است که نصف مجموع همهٔ مقسوم‌علیه‌های مثبت خود باشد.[۱]

نمونه‌ها[ویرایش]

نخستین عدد کامل ۶ است. زیرا ۱+۲+۳=۶ یا به طور هم ارز، ۶=۲/(۱+۲+۳+۶). بعد از آن ۲۸ و بعد از آن به ترتیب ۴۹۶ و ۸۱۲۸ قرار دارند.

پیشینه[ویرایش]

این چهار عددِ یاد شده، تنها اعداد شناخته شده در ریاضیات یونانی بودند. نیکوماخوس عدد کامل ۸،۱۲۸ را در حدود سال ۱۰۰ پس از میلاد شناسایی کرده بود و می‌شناخت.[۲] در دست نوشته‌ای مربوط به سال‌های بین ۱۴۵۶ و ۱۴۶۱ یک ریاضی دان گمنام اولین بار به درستی از پنجمین عدد کامل، ۳۳،۵۵۰،۳۳۶ یاد کرده‌است. در سال ۱۵۸۸، پیترو کاتالدی ریاضی دان ایتالیایی، پنجمین و ششمین اعداد کامل را که به ترتیب برابر با ۸٬۵۸۹٬۸۶۹٬۰۵۶ و ۱۳۷٬۴۳۸٬۶۹۱٬۳۲۸ هستند، شناسایی کرد.[۳]

اعداد کامل زوج[ویرایش]

اقلیدس ثابت کرده‌است که عدد (۲p−1p−۱ یک عدد زوج کامل است اگر ۲p−۱ یک عدد اول باشد. برای نمونه، چهار عدد اول یاد شده را می‌توان با این رابطه و با قرار دادن چهار عدد اول به برای p به دست آورد:

p = 2:   2۱۲−1) = ۶
p = 3:   2۲۳−1) = ۲۸
p = 5:   2۴۵−1) = ۴۹۶
p = 7:   2۶۷−1) = ۸۱۲۸

برای این که عدد (۲p−1p−۱ اول باشد، باید p خود یک عدد اول باشد. اعداد اول به این شکل را اعداد مرسن می‌نامند.مارین مرسن یک راهب فرانسوی قرن هفدهم بود که اعداد اول و اعداد کامل را بررسی کرد. البته همه اعداد به شکل (۲p−1p−۱ و با p اول، اول نیستند. در واقع اعداد مرسن بسیار کمیاب هستند، از میان ۱٬۶۲۲٬۴۴۱ عدد اولی که تا ۲۵٬۹۶۴٬۹۵۱ وجود دارند، تنها ۴۲ تای آن‌ها را اعداد مرسن تشکیل می‌دهند.

بیش از هزار سال بعد از اقلیدس، حدود هزار پس از میلاد ابن هیثم بیان کرد که هر عدد کامل زوج به شکل (۲p−1p−۱ است. این نتیجه تا قرن هجدهم ثابت نشده باقی ماند و در نهایت لئونارد اویلر توانست نشان دهد که همهٔ عددهای کامل زوج توسط رابطهٔ (۲p−1p−۱ به ازای اعداد اول مرسن قابل تولید هستند. این نتیجه به معنای وجود یک تناظر یک به یک بین اعداد کامل زوج و اعداد اول مرسن است. این قضیه به نام قضیهٔ اقلیدس-اویلر شناخته شده‌است. تا نوامبر ۲۰۱۲ تعداد اعداد مرسن و در نتیجه اعداد کامل شناخته شده ۴۷ تاست.[۴] بزرگترین آن‌ها ۲۴۳٬۱۱۲٬۶۰۸ × (۲۴۳٬۱۱۲٬۶۰۹−۱) با ۲۵٬۹۵۶٬۳۷۷ رقم است.

۴۲ عدد کامل نخست را با رابطهٔ (۲p−1p−۱ به ازای ۴۲ عدد اول p تولید می‌شوند:

۲, ۳, ۵, ۷, ۱۳, ۱۷, ۱۹, ۳۱, ۶۱, ۸۹, ۱۰۷, ۱۲۷, ۵۲۱, ۶۰۷, ۱۲۷۹, ۲۲۰۳, ۲۲۸۱, ۳۲۱۷, ۴۲۵۳, ۴۴۲۳, ۹۶۸۹, ۹۹۴۱, ۱۱۲۱۳, ۱۹۹۳۷, ۲۱۷۰۱, ۲۳۲۰۹, ۴۴۴۹۷, ۸۶۲۴۳, ۱۱۰۵۰۳, ۱۳۲۰۴۹, ۲۱۶۰۹۱, ۷۵۶۸۳۹, ۸۵۹۴۳۳, ۱۲۵۷۷۸۷, ۱۳۹۸۲۶۹, ۲۹۷۶۲۲۱, ۳۰۲۱۳۷۷, ۶۹۷۲۵۹۳, ۱۳۴۶۶۹۱۷, ۲۰۹۹۶۰۱۱, ۲۴۰۳۶۵۸۳, و ۲۵۹۶۴۹۵۱ [۵]

هنوز اثباتی برای اینکه آیا تعداد اعداد کامل و درنتیجه تعداد اعداد اول مرسن بی شمار است؟ ارائه نشده‌است. موضوع پروژهٔ GIMPS یافتن اعداد اول مرسن جدید است.

اعداد کامل فرد[ویرایش]

تاکنون عدد فرد کاملی یافت نشده‌است و در مورد وجود یا عدم وجود آنها اطلاعی دقیق در دست نیست، هرچند نتایجی مقدماتی در این باره به دست آمده‌است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]

یادکردها[ویرایش]

  1. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers.html
  2. دیکسون، لئونارد. تاریخ نظریه اعداد. ۱۹۱۹. 
  3. Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. 
  4. «GIMPS Home». Mersenne.org. بازبینی‌شده در ۲۰۱۲-۱۲-۱۷. 
  5. GIMPS Milestones Report. Retrieved 2012-12-21