اعداد فوق کامل

در ریاضیات یک عدد فوق کامل عددی صحیح مانند n است که در رابطهٔ زیر صدق کند

$\sigma^2(n)=\sigma(\sigma(n))=2n\, ,$

که در آن σ تابع تقسیم کننده می‌باشد.

اولین اعداد فوق کامل عبارتند از :2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144

اگر n یک عدد فوق کامل زوج باشد باید به شکل توانی از 2 مانند 2^k باشد به طوری که2^k+1-1 یک عدد اول مرسن باشد.

مشخص نیست که عدد فوق کامل فردی وجود دارد یا نه. یک عدد فوق کامل فرد مانند n باید مربع کامل باشد به طوری هم n و هم (σ(n حداقل بر 3 عدد اول متمایز بخشپذیر باشند. هیچ عدد فوق کامل فردی کوچکتر از 7x10²⁴ وجود ندارد.

اعداد کامل و فوق کامل زیر مجموعه‌ای از دسته‌ای بزرگتر از اعداد به نام (m,k)-کامل هستند که در رابطهٔ زیر صدق می‌کنند

$\sigma^m(n)=kn\, .$

با این نماد گذاری اعداد کامل (1,2)-کامل هستند و اعداد فوق کامل (2,2)-کامل. دسته‌های دیگری از اعداد (m,k)-کامل عبارتند از :

m	k	(m,k)-کامل	دنباله OEIS
2	3	8, 21, 512	A019281
2	4	15, 1023, 29127	A019282
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	A019283
2	7	24, 1536, 47360, 343976	A019284
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	A019285
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	A019286
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	A019287
2	11	4404480, 57669920, 238608384	A019288
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	A019289
3	any	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	A019292
4	any	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	A019293

منابع

English Wikipedia : Superperfect Numbers