عدد آشیل

عدد آشیل چیست؟

عدد آشیل یک عدد پرتوان است ولی توان تمام نیست.عدد صحیح مثبت nپرتوان است اگر، برای هر مقسوم علیه اول یا عامل اول p از n،P²نیز یک مقسوم علیه باشد.

به عبارت دیگر، هر عامل اول به صورت مربع ظاهر شود.تمام اعداد آشیل پرتوان هستند ولی تمام اعداد پرتوان عدد آشیل نیستند.تنها آنهایی که به صورت M^k، و(m,kدو عدد صحیح مثبت بزرگتر از 1)نمی توان بیان کرد.

تاریخچه

بنابر یک افسانهٔ یونانی، آشیل یک جنگجوی قدرتمند و به نظر شکست ناپذیری بوده که در جنگهای تروا حضور داشته است.

در بعضی از صورت‌های داستان آشیل، مادر او تتیس، پاشنهٔ پای چپ او را نگه داشته و او را در رودخانه استیکس(در افسانه یونان :رودخانه عالم اسفل)غوطه ور ساخته تا از کمین دشمنان در امان بماند ولی هنوز پاشنهٔ پای چپ او از آب بیرون بوده و از این ناحیه هنوز ضربه پذیر بوده است.از این جهت است که می‌گویند آشیل پرتوان بوده ولی به خاطر این نقطه ضعف توان تمام و کمالی نداشته است.اینچنین است که عدد آشیل یک عدد پرتوان است ولی توان تمام نیست.

یک رشته از اعداد آشیل

اعداد آشیل تا 5000 به صورت زیر هستند:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 5000

مثالها

برای مثال 108 یک عدد پرتوان است.تجزیهٔ این عدد به عوامل اول به صورت پس عوامل اول سازندهٔ آن 2و3 هستند.

هر دو عدد 22 = 4 و32 = 9 مقسوم علیه‌های 108 هستند از طرفی 108 را نمی‌توان به صورت M^k و(m,k دو عدد صحیح مثبت بزرگتر از 1) بیان کرد پس 108 یک عدد آشیل است. و در آخر،784 یک عدد آشیل نیست.این عدد یک عدد پرتوان است بلکه نه فقط به این خاطر که 2و7 از عوامل اول آن هستند بلکه به خاطر این که 22 = 4 و 72 = 49نیز مقسوم علیه‌های آن هستند. با این وجود یک عدد تمام توان است، چون:

$784==2^4 .7^2 =(2^{2}.7^2 )^2=28^2 \!$

پس 784 یک عدد آشیل نیست.

منابع

• Eric W. Weisstein, Achilles Number at MathWorld.