بزرگی (ریاضیات): تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده

درخط

نسخهٔ ‏۱۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۰، ساعت ۱۶:۴۵

در ریاضیات، بزرگی اندازه یک شیء ریاضی است، یک ویژگی که تعیین می‌کند این شی بزرگتر یا کوچک‌تر از سایر اشیاء از همان نوع است. به طور رسمی‌تر، بزرگی یک شیء نتیجه نمایش داده شده از ترتیب‌بندی (یا رتبه‌بندی) رده اشیایی است که به آن تعلق دارد.

تاریخ

یونانیان بین چندین نوع بزرگی تمایز قائل بودند، ^[۱] از جمله:

کسرهای مثبت
پاره‌خط‌ها (مرتب با طول)
اشکال صفحه (مرتب با مساحت )
جامدات (مرتب با حجم )
زاویه‌ها (مرتب با اندازه زاویه‌ای)

آنها ثابت کردند که دو مورد اول نمی‌توانند یک‌سان باشند و یا حتی سیستم‌هاییک‌ریختی از بزرگی دارند.^[۲] آنها بزرگی منفی را معنی‌دار نمی‌دانستند، و بزرگی هنوز هم بیشتر در متن‌هایی استفاده می‌شود که در آن صفر یا کوچک‌ترین اندازه یا کمتر از تمام اندازه‌ها ممکن است.

شماره

بزرگی هر عدد معمولاً «قدر مطلق» یا «پیمانه» نامیده می‌شود که توسط |x| نشان داده می‌شود

اعداد حقیقی

قدر مطلق یک عدد حقیقی r توسط این تعریف شده است: ^[۳]

\left|r\right|=r,{\text{ if }}r{\text{ ≥ }}0

\left|r\right|=-r,{\text{ if }}r<0.

اعداد مختلط

یک عدد مختلط z ممکن است به عنوان موقعیت یک نقطه P در یک فضای 2 بعدی، به نام صفحه مختلط مشاهده شود. ممکن است قدر مطلق یا پیمانه Z را به عنوان فاصله P از مبدا آن فضا تصور کنیم. فرمول قدر مطلق z = a + bi مشابه با نرم اقلیدسی یک بردار در فضای اقلیدسی 2 بعدی است: ^[۴]

\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

که در آن اعداد واقعی a و b به ترتیب قسمت حقیقی و قسمت موهومی z هستند. روش دیگر، اندازه یک عدد مختلط z ممکن است به عنوان ریشه مربع از ضرب خودش z و مزدوج مختلط آن^* Z تعریف کرد

\left|z\right|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

( بیاد آوردن $i^{2}=-1$ )

فضاهای برداری

یک بردار اقلیدسی موقعیت یک نقطه P را در یک فضای اقلیدسی نشان می‌دهد. از نظر هندسی می‌توان آن را به عنوان یک فلش از مبدا فضا (دم بردار) تا آن نقطه (نوک بردار) توصیف کرد. از نظر ریاضی، یک بردار x در یک فضای اقلیدسی n بعدی بصورت یک فهرست مرتب شده‌ای از n اعداد حقیقی (مختصات دکارتی P) تعریف می‌شود:x = [x₁, x₂, ..., x_n]. بزرگی یا طول آن معمولاً به عنوان نرم اقلیدسی (یا طول اقلیدسی) تعریف می‌شود: ^[۵]

\|\mathbf {x} \|:={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.

فضاهای برداری نرم‌دار

تابعی که اشیاء را به بزرگی آنها ترسیم می‌کند، یک نرم نامیده می‌شود. فضای برداری داده شده با یک نرم، مانند فضای اقلیدسی، یک فضای برداری نرم‌دار نامیده می‌شود. ^[۶] همه فضاهای برداری نرم‌دار نیستند.

همچنین ببینید

فهم عدد

منابع

↑ Heath, Thomas Smd. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications.
↑ Bloch, Ethan D. (2011), The Real Numbers and Real Analysis, Springer, p. 52, ISBN 9780387721774, The idea of incommensurable pairs of lengths of line segments was discovered in ancient Greece.
↑ Mendelson, Elliott (2008). Schaum's Outline of Beginning Calculus. McGraw-Hill Professional. p. 2. ISBN 978-0-07-148754-2.
↑ Ahlfors, Lars V. (1953). Complex Analysis. Tokyo: McGraw Hill Kogakusha.
↑ Howard Anton; Chris Rorres (12 April 2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.
↑ Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (2nd ed.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5

[1] Heath, Thomas Smd. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications.

[2] Bloch, Ethan D. (2011), The Real Numbers and Real Analysis, Springer, p. 52, ISBN 9780387721774, The idea of incommensurable pairs of lengths of line segments was discovered in ancient Greece.

[3] Mendelson, Elliott (2008). Schaum's Outline of Beginning Calculus. McGraw-Hill Professional. p. 2. ISBN 978-0-07-148754-2.

[4] Ahlfors, Lars V. (1953). Complex Analysis. Tokyo: McGraw Hill Kogakusha.

[AntonRorres2010-5] Howard Anton; Chris Rorres (12 April 2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.

[6] Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (2nd ed.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]