دایره واحد

تصویری از دایره‌ای واحد

دایره واحد، دایره‌ای به شعاع واحد است. معمولاً و به خصوص در مثلثات، دایرهٔ واحد دایره‌ای است با شعاعی به طول ۱ که مرکز آن نقطهٔ (۰٫۰) در دستگاه مختصات دکارتی در صفحه اقلیدسی است.

اگر (x٫y) نقطه‌ای بر روی دایره واحد در ربع اول باشد آنگاه x و y طول ضلع‌های مثلث قائمه‌ای با وتری به طول یک هستند. بنابراین از قضیه فیثاغورس نتیجه می‌گیریم که x و y در معادلهٔ $x^{2}+y^{2}=1$ صدق می‌کنند. این معادله، معادلهٔ دابره‌ای به شعاع ۱ و مرکز مبدأ مختصات است که هر نقطه‌ای بر روی دایرهٔ واحد در آن صدق می‌کند.

صورت‌های نقاط دایره واحد

• صورت نمایی:

$z=\,\mathrm {e} ^{i\theta }\,$

• صورت مثلثاتی:

$z=\cos(\theta )+i\sin(\theta )\,$

$\theta$ زاویه‌ای است که خط گذرنده از Z و مبدأ مختصات با جهت مثبت محور Xها می‌سازد.

توابع مثلثاتی بر دایرهٔ واحد

نمایش نسبت‌های مثلثاتی در دایره مثلثاتی

جهت مثبت دایره مثلثاتی را مخالف جهت حرکت عقربه‌های ساعت در نظر می گیرند.

نقطه‌ای مانند $A$ با مختصات $(\sin \theta ,\cos \theta )$ بر روی محیط دایره در نظر بگیرید (شکل روبرو). طبق تعاریف سینوس و کسینوس می‌دانیم که $\cos(\theta )=x\,\!$ و $\sin(\theta )=y\,\!$. از طرفی برای مثلث قائم‌الزاویه $OAC$ که وتر آن به اندازه یک واحد است، داریم $\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\,\!$ که این رابطه یکی از پایه‌ای‌ترین مفاهیم علم مثلثات است.

با توجه به خواص دایره مثلثاتی و از آنجا که توابع سینوس و کسینوس متناوب هستند خواهیم داشت:

$\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )\,\!$

$\sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )\,\!$

جستارهای وابسته

• مثلثات
• تابع مثلثاتی

منابع

• توماس، جورج؛ فینی، راس (۱۳۸۷). حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسهٔ تحلیلی. ج. ۱. ترجمهٔ مهدی بهزاد و دیگران. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۸۰۴۰-۲.
• براون، جیمز وارد؛ چرچیل، روئل ونس (۱۳۹۰). متغیرهای مختلط و کاربردهای آن. ترجمهٔ امیر خسروی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۱۳۳۷-۰.
• جلیل‌الله قراگزلو. مثلثات پایه. تهران:موسسه فرهنگی فاطمی، ۱۳۸۰. ISBN ۹۶۴-۳۱۸-۰۵۴-۹