توابع معکوس مثلثاتی

تابع‌های وارون مثلثاتی در ریاضیات، وارون تابع‌های مثلثاتی اند که طبق تعریف تابع وارون، بُرد آن‌ها زیرمجموعه ی دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که تابع‌های مثلثاتی هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای وارون آن‌ها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آن‌ها را محدود کرد (نگاه کنید به آزمایش خط افقی).

برای نمونه اگر تعریف کنیم $y=\operatorname {arcsin} (x)$ آنگاه $x=\operatorname {sin} (y)$ است اما به ازای یک x یکتا می‌توان چندین y پیدا کرد که به ازای آن $x=\operatorname {sin} (y)$ شود، مانند y مساوی صفر، π و 2π که به ازای همهٔ آن‌ها مقدار سینوس یا x برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin می‌تواند می‌تواند چندین جواب داشته باشد $\operatorname {arcsin} (0)=0,\pi ,2\pi$ درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابع‌های وارون مثلثاتی محدودیت بُرد یا خروجی قرار می‌دهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند.

تابع‌های اصلی در جدول زیر آورده شده‌اند:

رابطهٔ میان تابع‌های وارون مثلثاتی

نمودار تابع های$\operatorname {arcsin} (x)$ (قرمز) و $\operatorname {arccos} (x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

نمودار تابع های$\operatorname {arctan} (x)$ (قرمز) و $\operatorname {arccot} (x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

نمودار تابع های$\operatorname {arcsec} (x)$ (قرمز) و $\operatorname {arccsc} (x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

زاویه‌های مکمل:

$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x$

$\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x$

$\operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x$

ورودی‌های با علامت مخالف:

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\!$

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x\!$

$\arctan(-x)=-\arctan x\!$

$\operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!$

$\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!$

$\operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!$

ورودی‌های وارون شده:

$\arccos(1/x)\,=\operatorname {arcsec} x\,$

$\arcsin(1/x)\,=\operatorname {arccsc} x\,$

$\arctan(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x>0\,$

$\arctan(1/x)=-{\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x<0\,$

$\operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\arctan x,{\text{ if }}x>0\,$

$\operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {3}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if }}x<0\,$

$\operatorname {arcsec}(1/x)=\arccos x\,$

$\operatorname {arccsc}(1/x)=\arcsin x\,$

در صورتی که تنها بخشی از جدول سینوس را داشته باشیم:

$\arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},{\text{ if }}0\leq x\leq 1$

$\arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

هرگاه از ریشهٔ دوم یک عدد مختلط استفاده شد، باید ریشهٔ با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، عدد حقیقی منفی بود).

با استفاده از رابطهٔ نیم-زاویه $\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}$ خواهیم داشت:

$\arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

$\arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},{\text{ if }}-1<x\leq +1$

$\arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

رابطه‌های میان تابع‌های مثلثاتی و تابع‌های وارون مثلثاتی

$\sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

$\sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$

راه حل کلی

تابع‌های مثلثاتی در مجموعهٔ اعداد حقیقی، همگی تابع‌های متناوب اند و در بازه‌هایی به اندازهٔ ۲π مقدار همهٔ آن‌ها مرتب تکرار می‌شود. دورهٔ تناوب تابع‌های سینوس و کسکانت از ۲πk − π/۲ (به ازای kهای عضو مجموعهٔ اعداد صحیح) شروع می‌شود و در ۲πk + π/۲ تمام می‌شود، درنتیجه مقدار تابع میان بازهٔ ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دورهٔ تناوب کسینوس و سکانت از ۲πk شروع می‌شود و در ۲πk + π تمام می‌شود و مقدار تابع در فاصلهٔ میان ۲πk + π تا ۲πk + ۲π دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دورهٔ تناوب تانژانت از ۲πk − π/۲ شروع می‌شود و در ۲πk + π/۲ تمام می‌شود و مقدار تابع به ازای بازه‌های ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ مرتب تکرار می‌شود. دورهٔ تناوب کتانژانت از ۲πk شروع می‌شود و در ۲πk + π تمام می‌شود، و تابع به ازای بازه‌های ۲πk + π تا ۲πk + ۲π بر روی خودش باز می‌گردد.

این تناوب در تابع‌های وارون نیز به همین ترتیب ادامه دارد، با فرض اینکه k عدد صحیحی است داریم:

$\sin(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\arcsin(x)+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\arcsin(x)+2k\pi$

$\cos(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\arccos(x)+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\arccos(x)+2k\pi$

$\tan(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\arctan(x)+k\pi$

$\cot(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccot}(x)+k\pi$

$\sec(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arcsec}(x)+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\operatorname {arcsec}(x)+2k\pi$

$\csc(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccsc}(x)+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\operatorname {arccsc}(x)+2k\pi$

مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی

مقالهٔ اصلی: مشتق تابع‌های مثلثاتی

مشتق ساده این نوع تابع‌ها، به ازای x‌های مختلط و حقیقی به قرار زیر است:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}$

رابطه‌های زیر ویژهٔ x‌های حقیقی است:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}$

برای مشتق ساده اگر $\theta =\arcsin x\!$ باشد، آنگاه داریم:

${\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

استفاده از انتگرال‌های معین

عبارت انتگرالی برابر تابع‌های وارون مثلثاتی به قرار زیر است:

${\begin{aligned}\arcsin x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arccot} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arcsec} x&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arcsec} x&{}=\pi +\int _{x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\leq -1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\leq -1\end{aligned}}$

سری‌های نامتناهی

مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز می‌توان به کمک سری‌های نامتناهی محاسبه کرد:

${\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos {(1/z)}\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&{}=\arcsin {(1/z)}\\&{}=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}$

همچنین لئونارد اویلر برای وارون تانژانت، سری کارآمدتری را پیدا کرد، که عبارت است از:

$\arctan z={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.$

هشدار: به ازای n= ۰ عبارت به یک ضرب تهی تبدیل می‌شود که خود برابر با ۱ است. همچنین در ادامه می‌توان نشان داد که:

$\arctan z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{\,2n}\,(n!)^{2}}{\left(2n+1\right)!}}\;{\frac {z^{\,2n+1}}{\left(1+z^{2}\right)^{n+1}}}$

انتگرال نامعین تابع‌های وارون مثلثاتی

برای تمامی x‌های حقیقی و مختلط، رابطه‌های زیر برقرار است:

${\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right)+C\end{aligned}}$

تنها برای x ≥ ۱ که عضو مجموعه اعداد حقیقی اند:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}$

تمامی رابطه‌های بالا به کمک انتگرال‌گیری جزء به جژء قابل دستیابی است.

نمونه

با استفاده از $\int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u$ داریم:

${\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}$

آنگاه:

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$

با استفاده از تغییر متغیر:

$k=1-x^{2}.\,$

پس:

$\mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x$

و

$\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}$

دوباره x را جایگزین می‌کنیم:

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

منبع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Inverse trigonometric functions». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۷ سپتامبر ۲۰۱۱.

جستارهای وابسته

• سینوس (ریاضیات)
• فهرست اتحادهای مثلثاتی
• ریشه دوم
• تابع وارون هذلولی