دستگاه مختصات قطبی

نمایش یک نقطه در مختصات قطبی

دستگاه مختصات قطبی، یک دستگاه مختصات دوبعدی است که در آن مکان هر نقطه، با فاصلهٔ آن تا مرکز مختصات (r) و زاویه بین خط رسم‌شده از مرکز به آن نقطه و محور طول، (θ) مشخص می‌شود. این دستگاه در سه بعد به دستگاه مختصات استوانه‌ای و دستگاه مختصات کروی تبدیل می‌شود.

اولین استفاده‌های مشابه که به ایجاد کنونی این دستگاه انجامیده‌است توسط ابوریحان بیرونی انجام شد.

کاربرد

یکی از کاربردهای مختصات قطبی در محاسبه انتگرال‌ها می‌باشد. گاهی حل یک انتگرال در مختصات دکارتی مشکل است. در این‌گونه شرایط با یک تغییر متغیر مناسب می‌توان انتگرال را در مختصات قطبی حل نمود.

در بسیاری از معادله‌های فیزیکی نیروی مرکزی(حرکت دورانی) مانند چرخش سیاره‌ها از دستگاه قطبی استفاده می‌شود.

نمایش نقاط

یک نقطه در دو نوع مختصات دکارتی و قطبی به صورت زیر به یکدیگر قابل تبدیل هستند:

$x=r\cos \theta \,$

$y=r\sin \theta ,\,$

و برای تبدیل مختصات دکارتی به قطبی از فرمول‌های زیر استفاده می‌شود:

$r^{2}=y^{2}+x^{2}\,$ (قانون فیثاغورس)

$\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\end{cases}}$

بنابراین یک نقطه که توسط دستگاه دکارتی تعریف شده است را می توان در دستگاه مختصات قطبی (با توجه به خواص دایره مثلثاتی) به دو صورت تعریف کرد.

یک عدد مختلط را می‌توان همانگونه که در دستگاه مختصات دکارتی به صورت $z=x+iy\!$ نمایش می‌دهند به صورت زیر نمایش داد:

$z=r\cdot (cos\theta +isin\theta )\!$

از طریق فرمول اویلر می‌توان یک عدد مختلط رابه صورت زیر نیز نمایش داد:

$z=re^{i\theta }\,$

معادله قطبی

انواع گل‌ها با a و n متغییر

معادله‌ای که در دستگاه مختصات قطبی صدق کند معادله قطبی نامیده می‌شود معروف‌ترین معادله‌های قطبی عبارتند از:

نام	معادله	تصویر	توضیحات
خط مورب مبدا گذر	$\theta =C\!$		C ثابت است و برابر زاویه قطع می‌باشد.
خط موازی محور xها در دستگاه دکارتی	$rsin\theta =b\!$		b ثابت است.
خط موازی محور yها در دستگاه دکارتی	$rcos\theta =a\!$		a ثابت است.
دایره به مرکز مبدا مختصات	$r=C\!$		C ثابت است و برابر شعاع دایره می‌باشد.
حلزونی‌ها	$r=a+bcos\theta \!$		a و b ثابت‌اند
گل	$r=acosn\theta \!$ یا $r=asinn\theta \!$		a ثابت است و اگر n فرد باشد گل nپر و اگر زوج باشد گل ۲nپر است.
مارپیچ ارشمیدس	$r=\theta \!$		-
پروانه	$r^{2}=asin2\theta \!$ یا $r^{2}=acos2\theta \!$	-	-
مقاطع مخروطی مرکزدار	$r={\frac {ed}{1\pm ecos\theta }}$یا $r={\frac {ed}{1\pm esin\theta }}$	-	e برابر خروج از مرکز می‌باشد.
Lemniscate of Bernoulli	$r=a{\sqrt {2\cos(2\theta )}}$

دلگون‌ها

معادله اصلی دلگون‌ها به صورت $r=a+bcos\theta \!$ می‌باشد اگر a و b مثبت باشند دلگون می‌تواند شکل‌های زیر را بگیرد.

شرط	نام	تصویر
$0<{\frac {a}{b}}<1$	حلزونی با یک طوقه	-
${\frac {a}{b}}=1$	دلوار(قلب شکل)	-
$1<{\frac {a}{b}}<2$	حلزونی با یک فرورفتگی	-
${\frac {a}{b}}>2$	حلزونی بدون فرورفتگی	-

جهت دلگون‌ها به شکل زیر تعیین می‌شود(a و b مثبت هستند):

چند دلگون‌ در جهات مختلف

شکل معادله	جهت
$r=a+bcos\theta \!$	راست
$r=a-bcos\theta \!$	چپ
$r=a+bsin\theta \!$	بالا
$r=a-bsin\theta \!$	پایین

مارپیچ‌ها

معروفترین مارپیچ‌ها عبارتند از:

نام	معادله	توضیحات
مارپیچ ارشمیدس	$r=\theta \!$	-
مارپیچ لگاریتمی	$r=e^{n\theta }\!$	n ثابت است.
مارپیچ عکس	$r=n{\frac {1}{\theta }}\!$	n ثابت است.
مارپیچ فرما	$r^{2}=8\theta \!$	-

طول کمان معادلات و انتگرال آنها

طول کمانی در مختصات قطبی که معادله آن معلوم باشد از محاسبه انتگرال زیر بدست می‌آید:

$L=\int _{\beta }^{\alpha }{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}}}d\theta$

منابع

• دانشنامه رشد
• Wikipedia contributors, "Polar coordinate system," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Polar_coordinate_system&oldid=271752537 (accessed February 20, 2009).