ضرب خارجی

درفیزیک مهندسی و معماری و ... در بسیاری از موارد پیدا کردن بردار عمود بسیار حائز اهمیت است .

حاصلضرب خارجی در دستگاه مختصات راست‌گرد.

در ریاضیات، ضرب خارجی (به انگلیسی: Exterior Product)، ضرب برداری (به انگلیسی: Vector Product) عملگر دوتایی بر دو بردار در فضای سه بعدی اقلیدسی است که نتیجه آن برداری است که بر دو بردار اولیه عمود است. در مقابل، ضرب داخلی یک اسکالر را نتیجه می‌دهد. در بسیاری از کاربردهای فیزیکی و مهندسی نیاز به یافتن برداری عمود بر دو بردار می‌باشد که می‌توان در این موارد از حاصلضرب خارجی استفاده کرد.

تعریف

قانون دست راست برای یافتن جهت بردار حاصلضرب خارجی دو بردار.

حاصلضرب خارجی دو بردار a و b با a × b نمایش داده می‌شود. در فضای اقلیدسی سه‌بعدی در دستگاه مختصات راست‌گرد، حاصلضرب خارجی دو بردار، برداری است مانند c که بر دو بردار a و b عمود است و جهت آن با استفاده از قانون دست راست تعیین می‌گردد و اندازه آن برابر است با مساحت متوازی‌الاضلاعی که این دو بردار دو ضلع مجاور آن را تشکیل می‌دهند. یعنی:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =ab\sin \theta \ \mathbf {\hat {n}}$

که θ زاویه بین دو بردار a و a ، b و b اندازه این دو بردار، و $\mathbf {\hat {n}}$ بردار یکه در راستای عمود بر دو بردار a و b و در جهت تعیین شده توسط قانون دست راست است.

همچنین برای تعیین نتیجه یک ضرب خارجی بدون استفاده از زاویه بین دو بردار یا در صورت نداشتن زاویه بین دو بردار, ماتریسی n*n نوشته و گزاره‌های ماتریس را محاسبه می‌کنیم. سوالات معمولاً در فضای 3 بعدی بررسی می‌شوند, بنابراین ماتریسی 3*3 نوشته و i , j , k را در سطر اول, مقادیر بردار اول را در سطر دوم و مقادیر بردار دوم را در سطر سوم ماتریس می نویسیم. نتیجه محاسبه برای دو بردار ( ai,bj,ck ) و ( di,ej,fk ) به صورت زیر خواهد بود :

bf-ce) i , (cd-af) j , (ae-bd) k)

کاربرد ها

درفیزیک مهندسی و معماری و ... در بسیاری از موارد پیدا کردن بردار عمود بسیار حائز اهمیت است .

برای مثال:

حجم متوازی الاضلاع با دو ضلع a,b از طریق رابطه زیر محاسبه می گردد :

|a×b|

مساحت مثلث با دو ضلع بنا شده بر دو بردار a,b  :

2/|a×b|

و حجم متوازی السطوح هم از رابطه ذیل ‌به دست می آید:

(a.(b×c

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Cross product». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ فوریه ۲۰۰۸.

شهریاری ، پرویز ، محاسبه برداری (۱۳۶۹) انتشارات تهران(کاربرد ها)

گردهمایی دانش آموزان مازندران ، خاکپور ، امیرمحمد ،۱۳۹۶(کاربرد ها)

Larson,R.2017 elementry linear , eighth edition . Cengage learning , boston,ma (کاربردها)