ضرب داخلی

ضرب داخلی (به انگلیسی: Inner Product)، که ضرب نقطه‌ای (به انگلیسی: Dot Product) و ضرب اسکالر (به انگلیسی: Scalar Product) نیز نامیده می‌شود، یک عملگر دوتایی بین دو بردار در فضای $n\!$ بعدی اقلیدسی است که نتیجه آن یک عدد حقیقی است.

بنابراین، ضرب داخلی دو کمیت برداری، یک کمیت نرده‌ای است.

تعریف

ضرب داخلی دو بردار [a = [a₁, a₂, … , a_n و [b = [b₁, b₂, … , b_n به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

که Σ نماد جمع است.

برای دو بردار مختلط، ضرب داخلی به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum {a_{i}{\overline {b_{i}}}}$

که ${\overline {b_{i}}}$، مزدوج مختلط بردار $b_{i}$ است.

بیان هندسی

حاصلضرب داخلی A • B برابر است با $|\mathbf {A} |\,|\mathbf {B} |\cos \theta \,$.
$|\mathbf {A} |\,cos\theta \,$ اندازهٔ تصویر بردار A بر روی B است.

در هندسه اقلیدسی، ضرب داخلی به اندازهٔ بردارها و زاویهٔ بین آنها مربوط است. برای یک بردار دلخواه a، ضرب داخلی a · a برابر با مجذور طول بردار a است:

$|\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$

که |a| نشان‌دهندهٔ اندازه بردار a است.

همچنین اگر b یک بردار دیگر باشد، آنگاه:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,$

که |a| و |b| نشان‌دهندهٔ اندازهٔ بردارهای a و b و θ زاویهٔ بین دو بردار است.

جستارهای وابسته

• ضرب خارجی
• بردار
• تانسور
• متریک ریمانی

منابع

• جبر خطّی عددی (انگلیسی)