از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
تابع جرم احتمال
تابع توزیع تجمعی
پارامترها
n ∈ عدد طبیعی — number of trials
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
(عدد حقیقی )
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
(عدد حقیقی ) تکیهگاه
k ∈ { 0, …, n } تابع جرم احتمال
(
n
k
)
B
(
k
+
α
,
n
−
k
+
β
)
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {n \choose k}{\frac {\mathrm {B} (k+\alpha ,n-k+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}
تابع توزیع تجمعی
1
−
B
(
β
+
n
−
k
−
1
,
α
+
k
+
1
)
3
F
2
(
a
,
b
;
k
)
B
(
α
,
β
)
B
(
n
−
k
,
k
+
2
)
(
n
+
1
)
{\displaystyle 1-{\tfrac {\mathrm {B} (\beta +n-k-1,\alpha +k+1)_{3}F_{2}({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}};k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )\mathrm {B} (n-k,k+2)(n+1)}}}
where 3 F 2 (a ,b ,k) is the generalized hypergeometric function =3 F 2 (1, α + k + 1, −n + k + 1; k + 2, −β − n + k + 2; 1) میانگین
n
α
α
+
β
{\displaystyle {\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\!}
واریانس
n
α
β
(
α
+
β
+
n
)
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle {\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}
چولگی
(
α
+
β
+
2
n
)
(
β
−
α
)
(
α
+
β
+
2
)
1
+
α
+
β
n
α
β
(
n
+
α
+
β
)
{\displaystyle {\tfrac {(\alpha +\beta +2n)(\beta -\alpha )}{(\alpha +\beta +2)}}{\sqrt {\tfrac {1+\alpha +\beta }{n\alpha \beta (n+\alpha +\beta )}}}\!}
کشیدگی
See text تابع مولد گشتاور
2
F
1
(
−
n
,
α
;
α
+
β
;
1
−
e
t
)
{\displaystyle _{2}F_{1}(-n,\alpha ;\alpha +\beta ;1-e^{t})\!}
for
t
<
log
e
(
2
)
{\displaystyle {\text{for }}t<\log _{e}(2)}
تابع مشخصه
2
F
1
(
−
n
,
α
;
α
+
β
;
1
−
e
i
t
)
{\displaystyle _{2}F_{1}(-n,\alpha ;\alpha +\beta ;1-e^{it})\!}
for
|
t
|
<
log
e
(
2
)
{\displaystyle {\text{for }}|t|<\log _{e}(2)}
شکل ۱: چگالی احتمال.
شکل ۲: توزیع تجمعی.
توزیع بتا-دوجملهای (انگلیسی : Beta-binomial distribution)
میتوان تصور کرد که پارامتر
p
{\displaystyle p}
در این توزیع از یک توزیع بتا بدست آمدهاست.
L
(
k
|
n
,
p
)
=
Bin
(
n
,
p
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle {\begin{aligned}L(k|n,p)&=\operatorname {Bin} (n,p)\\&={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\end{aligned}}}
که خود توزیع بتا دارای فرمول زیر است:
π
(
p
|
α
,
β
)
=
B
e
t
a
(
α
,
β
)
=
p
α
−
1
(
1
−
p
)
β
−
1
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi (p|\alpha ,\beta )&=\mathrm {Beta} (\alpha ,\beta )\\&={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\end{aligned}}}
حال میتوان توزیع کلی را به صورت زیر نوشت:
f
(
k
|
n
,
α
,
β
)
=
∫
0
1
L
(
k
|
p
)
π
(
p
|
α
,
β
)
d
p
=
(
n
k
)
1
B
(
α
,
β
)
∫
0
1
p
k
+
α
−
1
(
1
−
p
)
n
−
k
+
β
−
1
d
p
=
(
n
k
)
B
(
k
+
α
,
n
−
k
+
β
)
B
(
α
,
β
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(k|n,\alpha ,\beta )&=\int _{0}^{1}L(k|p)\pi (p|\alpha ,\beta )\,dp\\&={n \choose k}{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}p^{k+\alpha -1}(1-p)^{n-k+\beta -1}\,dp\\&={n \choose k}{\frac {\mathrm {B} (k+\alpha ,n-k+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}}
با استفاده از ویژگیهای تابع بتا میتوان رابطهٔ فوق را به صورت زیر ساده کرد:
f
(
k
|
n
,
α
,
β
)
=
Γ
(
n
+
1
)
Γ
(
k
+
1
)
Γ
(
n
−
k
+
1
)
Γ
(
k
+
α
)
Γ
(
n
−
k
+
β
)
Γ
(
n
+
α
+
β
)
Γ
(
α
+
β
)
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
.
{\displaystyle f(k|n,\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (k+1)\Gamma (n-k+1)}}{\frac {\Gamma (k+\alpha )\Gamma (n-k+\beta )}{\Gamma (n+\alpha +\beta )}}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}.}
توزیعهای مرتبط [ ویرایش ]
B
B
(
1
,
1
,
n
)
∼
U
(
0
,
n
)
{\displaystyle BB(1,1,n)\sim U(0,n)\,}
که در آن
U
(
a
,
b
)
{\displaystyle U(a,b)\,}
توزیع یکنواخت گسسته است.
جستارهای وابسته [ ویرایش ]
* Minka, Thomas P. (2003). Estimating a Dirichlet distribution . Microsoft Technical Report.
پیوند به بیرون [ ویرایش ]