ضرب داخلی

ضرب داخلی (به انگلیسی: Inner Product)، که ضرب نقطه‌ای (به انگلیسی: Dot Product) و ضرب اسکالر (به انگلیسی: Scalar Product) نیز نامیده می‌شود، یک عملگر دوتایی بین دو بردار در فضای سه بعدی یا دوبعدی اقلیدسی است که نتیجه آن یک عدد حقیقی است.

بنابراین، ضرب داخلی دو کمیت برداری، یک کمیت نرده‌ای است.

تعریف

ضرب داخلی دو بردار [a = [a₁, a₂, … , a_n و [b = [b₁, b₂, … , b_n به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

که Σ نماد جمع است.

برای دو بردار مختلط، ضرب داخلی به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum {a_{i}{\overline {b_{i}}}}$

که ${\overline {b_{i}}}$، مزدوج مختلط بردار $b_{i}$ است.

بیان هندسی

حاصلضرب داخلی A • B برابر است با $|\mathbf {A} |\,|\mathbf {B} |\cos \theta \,$.
$|\mathbf {A} |\,cos\theta \,$ اندازهٔ تصویر بردار A بر روی B است.

در هندسه اقلیدسی، ضرب داخلی به اندازهٔ بردارها و زاویهٔ بین آنها مربوط است. برای یک بردار دلخواه a، ضرب داخلی a · a برابر با مجذور طول بردار a است:

$|\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$

که |a| نشان‌دهندهٔ اندازه بردار a است.

همچنین اگر b یک بردار دیگر باشد، آنگاه:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,$

که |a| و |b| نشان‌دهندهٔ اندازهٔ بردارهای a و b و θ زاویهٔ بین دو بردار است.

جستارهای وابسته

• ضرب خارجی
• بردار
• تانسور
• متریک ریمانی

منابع

• جبر خطّی عددی (انگلیسی)