گرانیگاه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

گِرانیگاه یا مَرکَز ثِقْل یک دستگاه از ذرات، در فیزیک، نقطهٔ مشخصی است که در بسیاری از مسائل سیستم طوری رفتار می‌کند که گویی همه جرم آن در آن نقطه متمرکز است. گرانیگاه فقط تابعی از جای و جرم ذراتی است که سامانه را تشکیل می‌دهند.

در صورتی که ذرات سیستم تا حدودی آزادانه در کنار هم باشند، مانند مجموعه ساچمه‌هایی که از تفنگ ساچمه‌ای شلیک شده، گرانیگاه نقطه‌ای در فضا و بین گلوله‌ها است که ممکن است روی هیچ کدام از آن گلوله‌ها واقع نباشد.

گرانیگاه یک جسم همیشه روی مرکز هندسی آن نیست. و نقطهٔ دیگری می‌تواند گرانیگاه جسم باشد.

تعریف[ویرایش]

گرانیگاه یا مرکز جرم یک سیستم از ذرات میانگین وزن‌دار مکان‌های آن ذرات است.
سیستم کلی ما شامل n ذره به جرم‌های m_1, m_2, ..., m_n است که بردار مکان آنها، به ترتیب عبارتند از \overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}, ... , \overrightarrow{r_n} . مرکز جرم این سیستم نقطه‌ای است به بردار مکان \overrightarrow{r_{cm}} که از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:


\overrightarrow{r}_{cm} = 
\dfrac{m_1\overrightarrow{r_1} + m_2\overrightarrow{r_2} + ... + m_n\overrightarrow{r_n}}{m_1 + m_2 + ... + m_n} =
\dfrac{\sum_{i} m_i\overrightarrow{r_i}}{m}


در اینجا m جرم کلی سیستم است. بدیهی است که تعریف بالا با سه معادله‌ی زیر برابر است:


\overrightarrow{x}_{cm} = 
\dfrac{\sum_{i} m_i\overrightarrow{x_i}}{m} ,     
\overrightarrow{y}_{cm} = 
\dfrac{\sum_{i} m_i\overrightarrow{y_i}}{m} ,      
\overrightarrow{z}_{cm} = 
\dfrac{\sum_{i} m_i\overrightarrow{z_i}}{m}

که y، x و z مقادیر گرانیگاه را در فضا مشخص خواهند کرد. [۱]

مثال‌ها[ویرایش]

  • گرانیگاه یک دستگاه دوذره‌ای روی خط و اصل آن دو ذره قرار دارد. (یا دقیق‌تر گرانیگاه‌های فردی آن‌ها) گرانیگاه نزدیک‌تر است به جسم سنگین‌تر.
  • گرانیگاه یک حلقه در مرکز آن حلقه‌است. (در هوا)
  • گرانیگاه یک هرم روی هر سه میانه قرار می‌گیرد. و بنابر این روی مرکز ثقل -که همچنین میانگین سه راس است- قرار می‌گیرد.
  • گرانیگاه یک مستطیل روی تقاطع دو قطر است.
  • در یک جسم کروی منظم، گرانیگاه در مرکز قرار دارد. این تقریبا شامل کرهٔ زمین هم می‌شود؛ با اینکه غلظت به طور قابل توجهی تغییر می‌کند. ولی عمدتا و تا حد کمی به مختصات دیگر بستگی دارد.
  • بطور کلی برای هر قرینه از یک جسم، گرانیگاه آن، یک نقطهٔ ثابت خواهد بود از آن قرینه.

تاریخچه[ویرایش]

مفهوم مرکز ثقل را اولین بار ارشمیدس مطرح شد. ارشمیدس نشان داد که نیروی پیچشی (گشتاور) اعمال شده روی یک اهرم به وسیله قرار دادن وزنه‌ها روی نقاط گوناگون در امتداد اهرم همان نیرویی است که به اهرم وارد می‌شد اگر اگر تمام وزنه‌ها روی یک نقطه قرار می‌گرفت-مرکز ثقل آنها-. در مورد حرکت اجسام شناور روی آب او نشان داد که جهت جسم شناور جهتی است که مرکز ثقل جسم را کمتر می‌کند. (مرکز ثقل جسم در آن جهت کمتر است.) او تکنیکهای ریاضی را بسط داد برای پیدا کردن مراکز ثقل اجسام دارای چگالی یکنواخت_ اشکال_خوش تعریف. به ویژه یک مثلث و یک نیمکره و یک مخروط یا هرم _ناقص_یک قطع مخروطی دایروی.

در قرون وسطی تئوریهای راجع به مرکز ثقل بیشتر توسعه داده شد توسط ابوریحان بیرونی، رازی، عمر خیام و خزینی.

حرکت[ویرایش]

معادلات حرکت زیر بر پایهٔ این فرض بنا شده‌اند که یک سیستم از ذرات وجود دارد که به وسیلهٔ نیروهای داخلی و خارجی کنترل شده‌است. یک نیروی داخلی نیرویی است که به وسیلهٔ فعل و انفعالات ذرات داخل سیستم ایجاد شده‌است. و یک نیروی خارجی نیرویی است که از خارج از سیستم سرچشمه می‌گیرد و عمل می‌کند روی یک یا چند ذره داخل سیستم. نیروی خارجی لازم نیست حتماً ناشی از یک جسم یکنواخت باشد. برای هر سیستمی که هیچ نیروی خارجی به آن وارد نمی‌شود، گرانیگاه با سرعت ثابت حرکت می‌کند. این قانون برای همهٔ سیستمها با نیروهای داخلی کلاسیک شامل میدانهای مغناطیسی، میدانهای الکتریکی، واکنشهای شیمیایی و غیره به کار برده می‌شود. به عبارت دیگر این قانون درست است برای هر نیروی داخلی که صورت ضعیف قانون سوم نیوتون در آن صدق می‌کند. نیروی حرکت آنی مجموع برای هر سیستم از ذرات به وسیلهٔ فرمول زیر داده شده‌است:

P=MVcm

جاییکه M نماد جرم کل وVcm سرعت گرانیگاه باشد. این سرعت می‌تواند محاسبه شود به وسیلهٔ اندازه گیری زمان گرفته شده از مکان گرانیگاه. یک فرمول شبیه به قانون دوم نیوتون هست: F=Macm وقتی F نماد مجموع تمام نیروهای خارجی باشد و acm نمادی باشد برای شتاب گرانیگاه.

دوران و مراکز ثقل[ویرایش]

گرانیگاه معمولاً مرکز ثقل هم گفته می‌شود، چرا که هر میدان یکپارچهٔ گرانشی(g) روی هر سیستمی طوری عمل می‌کند که گویی جرم آن سیستم متمرکز روی گرانیگاهش (R) است. این حداقل در دو طریق قابل مشاهده‌است:

  • انرژی پتانسیل گرانشی یک سیستم برابر است با انرژی پتانسیل یک ذرهٔ نقطه‌ای دارای جرم کل M، که در Rقرار دارد.
  • گشتاور گرانشی روی یک سیستم برابر است با یک گشتاور نیروی Mg که در R عمل می‌کند.

R × Mg = ∑ mi ri × g

گرانیگاه گاهی مرکز ثقل هم گفته می‌شود. به دلیل اینکه، در بسیاری موارد، احتمال دارد گرانش به نظر یکنواخت بیاید. در مورد یک جسم بسیار بزرگ نیروهای نابرابر (ناموازی) قابل توجه (حائز اهمیت) است. پس مرکز ثقل جاییکه یکی باید نیروی برابر اعمال کند کمی از گرانیگاه منحرف می‌شود. این است دلیل تمایز میان گرانیگاه و مرکز ثقل.

نویسندگان پیشین کمتر دقت می‌کردند. در حالیکه گرانش یکنواخت نیست. «مرکز ثقل» از گرانیگاه منحرف می‌شود. این عادت به نظر می‌آید که به یک مرکز ثقل خوش تعریف برای زمینه‌های نایکنواخت دلالت کند. ولی چنین چیزی وجود ندارد. حتی وقتی روی نیروهای جزر و مدی (کشند) در سیارات کار می‌شود کافی است استفاده از مرکز برای پیدا کردن حرکت همه چیز. برای تکرار برای زمینه‌های نایکنواخت، حقیقتا یک چیز نمی‌تواند در مورد گرانیگاه صحبت کند.

منابع[ویرایش]

  1. مکانیک تحلیلی, گرانت فولز و جورج کسیدی, ترجمه جعفر قیصری, مرکز نشر دانشگاهی