معادله حرارت

معادلهٔ حرارت (Heat equation) یک معادله دیفرانسیل پاره‌ای خطی است. در حالت یک‌بعدی و با زمان، این معادلهٔ کلاسیک به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$u_t = k u_{xx} \,$

که در این‌جا، $u(x, t) \!$ دما به صورت یک‌بعدی، و $k \!$ ضریب مثبت و ثابتی است، که میزان ضریب نفوذ هدایتی گرما را نشان می‌دهد.

معادلات دیفرانسیل سهموی

مقالهٔ اصلی: معادلات دیفرانسیل سهموی

معادلات دیفرانسیل سهموی به‌عنوان مدل‌های ریاضی حاکم بر فرایندهای پخش و نشر، یا به‌زبانی عمومی‌تر، فرایندهای برگشت‌ناپذیر وابسته به‌زمان کاربردهای فراوان و متنوعی پیدا می‌کنند. ساده‌ترین نمونه از این‌گونه معادلات، معادلهٔ حرارت است.

جواب‌های بنیادین

جواب بنیادین، به‌نتیجهٔ حل معادلهٔ حرارت، در قبال شرط اولیهٔ منبعی نقطه‌ای از گرما واقع در نقطهٔ مکانی معلوم اطلاق می‌شود. در حالت یک‌بعدی ($x \!$) داریم:

$\begin{cases} u_t(x,t) - k u_{xx}(x,t) = 0& -\infty<x<\infty,\quad 0<t<\infty\\ u(x,t=0)=\delta(x)& \end{cases}$

که در اینجا $\delta \!$ همان تابع دلتای دیراک (به مفهوم بار حرارتی نقطه‌ای) است. حل این مسئله، همان جواب بنیادین را به‌دست خواهد داد:

$\Phi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4kt}\right).$

با در دست داشتن این جواب، همواره می‌توان حل معادله یک‌بعدی حرارت را به ازاء هر شرط اولیهٔ معلوم با کانولوشن به‌دست آورد:

$u(x,t) = \int \Phi(x-y,t) g(y) dy.$

جستارهای وابسته

• جواب بنیادین
• معادله لاپلاس
• معادله موج
• معادلات دیفرانسیل سهموی

منابع

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ معادله حرارت موجود است.

• S.J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engieers, Dover, New York, 1982
• Smoller, J., Shock Waves and Reaction - Diffusion Equations, Springer-Verlag, New York, Inc., 1983. ISBN 0-387-90752-1