معادله حرارت

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

معادلهٔ حرارت (Heat equation) یک معادله دیفرانسیل پاره‌ای خطی[۱] است که توزیع حرارت (یا اختلاف دما) را در یک دامنه داده شده توصیف میکند.

صورت معادله[ویرایش]

برای تابع u(x,y,z,t) \! در دستگاه مختصات دکارتی با متغیرهای (x,y,z) \! و متغیر زمان t\!، معادله حرارت عبارت است از:

\frac{\partial u}{\partial t} -\alpha\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0

در حالت کلی تر:

\frac{\partial u}{\partial t} - \alpha \nabla^2 u=0

که در این‌جا \alpha \! ضریب مثبتی است که میزان ضریب نفوذ هدایتی گرما را نشان می‌دهد. و عملگر  \nabla^2 \! نمایانگر لاپلاسین یک تابع است. در مسائل فیزیکی مربوط به تغییرات دما تابع u(x,y,z,t) \! در واقع نمایانگر دما در مکان (x,y,z) \! و زمان t\! میباشد، همچنین \alpha \! ضریب نفوذ حرارتی خواهد بود.

معادله حرارت یک معادله از نوع معادلات دیفرانسیل پاره ای سهموی میباشد که در شاخه های مختلف علمی کاربرد بسیار دارد. بعنوان مثال در نظریه احتمالات معادله حرارت با مطالعه حرکتهای براونی از طریق معادله فوکر-پلانک مرتبط میباشد. همینطور در بحث ریاضیات مالی، برای حل معادله دیفرانسیل پاره ایی بلک-اسکولز ابتدا از تبدیل این معادله به معادله حرارت استفاده میشود. و البته معادله نفوذ که حالت کلی تری از معادله حرارت است در مطالعه پدیده های نفوذ شیمیایی ظاهر میشود.

معادلات دیفرانسیل سهموی[ویرایش]

مقالهٔ اصلی: معادلات دیفرانسیل سهموی

معادلات دیفرانسیل سهموی به‌عنوان مدل‌های ریاضی حاکم بر فرایندهای پخش و نشر[۲]، یا به‌زبانی عمومی‌تر، فرایندهای برگشت‌ناپذیر[۳] وابسته به‌زمان[۴] کاربردهای فراوان و متنوعی پیدا می‌کنند. ساده‌ترین نمونه از این‌گونه معادلات، معادلهٔ حرارت است.

توضیح کلی[ویرایش]

راه حل یک معادله حرارت یک بعدی . درجه حرارت (u) است در ابتدا با یک مقدار بیشینه در یک سر x=0 و با نقطه پایانی عایق شده در سر دیگر x=1. همانطور که دیده میشود با نفوذ حرارت دما با گذر زمان به تعادل میرسد.

فرض کنید تابعی همچون u \! درجه حرارت را در مکان (x,y,z) \! توصیف می کند. این تابع در طول زمان تغییر می کند همراه با گسترش حرارت در فضای مورد بررسی. معادله حرارت تغییر دما را در طول زمان مشخص میکند. تصویر سمت چپ تغییرات دما را در امتداد یک نوار فلزی نشان میدهد. معادله حرارت به خوبی بیانگر این اصل است که حرارت در طول زمان از نقطه ای به نقطه مجاورش نفوذ میکند و حرارت هرگز از هیچی تولید نمیشود مگر در صورت وجود منبع حرارتی.

معادله حرارت در در حساب آمار و احتمالات در توضیح رفتار ولگشت استفاده میشود که در حل مسائل بوجود آمده در ریاضیات مالی استفاده فراوان میشود.

جواب‌های بنیادین[ویرایش]

جواب بنیادین، به‌نتیجهٔ حل معادلهٔ حرارت، در قبال شرط اولیهٔ منبعی نقطه‌ای از گرما واقع در نقطهٔ مکانی معلوم اطلاق می‌شود. در حالت یک‌بعدی (x \!) داریم:


\begin{cases}
u_t(x,t) - k u_{xx}(x,t) = 0& -\infty<x<\infty,\quad 0<t<\infty\\
u(x,t=0)=\delta(x)&
\end{cases}

که در اینجا  \delta \! همان تابع دلتای دیراک (به مفهوم بار حرارتی نقطه‌ای) است. حل این مسئله، همان جواب بنیادین را به‌دست خواهد داد:

\Phi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4kt}\right).

با در دست داشتن این جواب، همواره می‌توان حل معادله یک‌بعدی حرارت را به ازاء هر شرط اولیهٔ معلوم با کانولوشن به‌دست آورد:

u(x,t) = \int \Phi(x-y,t) g(y) dy.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

  1. Linear partial differential equation
  2. Diffusion
  3. Irreversible
  4. Time-dependent

منابع[ویرایش]

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ معادله حرارت موجود است.
  • S.J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engieers, Dover, New York, 1982
  • Smoller, J., Shock Waves and Reaction - Diffusion Equations, Springer-Verlag, New York, Inc., 1983. ISBN 0-387-90752-1