معادله حرارت

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

معادلهٔ حرارت (Heat equation) یک معادله دیفرانسیل پاره‌ای خطی[۱] است. در حالت یک‌بعدی و با زمان، این معادلهٔ کلاسیک به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

u_t = k u_{xx} \,

که در این‌جا، u(x, t) \! دما به صورت یک‌بعدی، و k \! ضریب مثبت و ثابتی است، که میزان ضریب نفوذ هدایتی گرما را نشان می‌دهد.

معادلات دیفرانسیل سهموی[ویرایش]

مقالهٔ اصلی: معادلات دیفرانسیل سهموی

معادلات دیفرانسیل سهموی به‌عنوان مدل‌های ریاضی حاکم بر فرایندهای پخش و نشر[۲]، یا به‌زبانی عمومی‌تر، فرایندهای برگشت‌ناپذیر[۳] وابسته به‌زمان[۴] کاربردهای فراوان و متنوعی پیدا می‌کنند. ساده‌ترین نمونه از این‌گونه معادلات، معادلهٔ حرارت است.

جواب‌های بنیادین[ویرایش]

جواب بنیادین، به‌نتیجهٔ حل معادلهٔ حرارت، در قبال شرط اولیهٔ منبعی نقطه‌ای از گرما واقع در نقطهٔ مکانی معلوم اطلاق می‌شود. در حالت یک‌بعدی (x \!) داریم:


\begin{cases}
u_t(x,t) - k u_{xx}(x,t) = 0& -\infty<x<\infty,\quad 0<t<\infty\\
u(x,t=0)=\delta(x)&
\end{cases}

که در اینجا  \delta \! همان تابع دلتای دیراک (به مفهوم بار حرارتی نقطه‌ای) است. حل این مسئله، همان جواب بنیادین را به‌دست خواهد داد:

\Phi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4kt}\right).


با در دست داشتن این جواب، همواره می‌توان حل معادله یک‌بعدی حرارت را به ازاء هر شرط اولیهٔ معلوم با کانولوشن به‌دست آورد:

u(x,t) = \int \Phi(x-y,t) g(y) dy.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

  1. Linear partial differential equation
  2. Diffusion
  3. Irreversible
  4. Time-dependent

منابع[ویرایش]

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ معادله حرارت موجود است.
  • S.J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engieers, Dover, New York, 1982
  • Smoller, J., Shock Waves and Reaction - Diffusion Equations, Springer-Verlag, New York, Inc., 1983. ISBN 0-387-90752-1