الگوریتم کروسکال

در نظریه گراف، الگوریتم کروسکال الگوریتمی برای یافتن یک زیرگراف فراگیر همبند با کمترین وزن در یک گراف وزن‌دار است (در یک گراف وزن دار، به هر یال وزنی نسبت داده شده‌است). همچنین این الگوریتم برای یافتن کوچکترین درخت فراگیر در یک گراف وزن دار استفاده می‌شود.

به عنوان مثال فرض کنید یک شبکه راه آهن که تعدادی شهر را به یکدیگر متصل می‌کند در دست احداث است می‌خواهیم با داشتن هزینه${c_{ij}}$ مربوط به احداث خط مستقیم بین شهرهای ${v_i},{v_j}$ شبکه را طوری طراحی کنیم که مجموع هزینه‌های ساخت به کمترین مقدار خود برسد. با در نظر گرفتن هر شهر به عنوان یک راس از گراف وزن دار با وزن‌های $w({v_i},{v_j})={c_{ij}}$ مسئله به یافتن یک زیر گراف فراگیر همبند با کمترین وزن در یک گراف منجر می‌شود.

فرض کنید وزن‌ها نامنفی هستند بنابراین می‌توانیم تصور کنیم که زیر گراف فراگیر با کمترین وزن یک درخت فراگیر $T$ از $G$ است حال الگوریتم زیر را برای این کار ارائه می‌دهیم.

الگوریتم کروسکال

۱-یال پیوندی$e_1$ را طوری انتخاب کن که وزن آن کوچکترین مقدار موجود باشد.

۲-اگر یال‌های ${e_{i+1}},{...}{e_2},{e_1}$ انتخاب شده‌اند یال${e_{i+1}}$ را از میان$E-{{e_1},{e_2},{...},{e_i}}$ به گونه‌ای انتخاب کن که:

الف)زیرگراف با یال‌های ${e_1},{e_2},{...},{e_{i+1}}$ بدون دور باشد.

ب)از میان یال‌های مشمول شرط (الف) وزن ${e_{i+1}}$ دارای کمترین مقدار ممکن باشد.

۳-در صورتی که مرحله ۲ دیگر قابل اجرا نیست توقف کن.

مثال

تصویر	توضیحات
	یال های AD و CE کوتاه‌ترین یال‌های گراف هستند با طول 5، یال AD به طور دلخواه انتخاب می‌شود،که به رنگ سبز نشان داده شده است.
	حالا CE کوتاه‌ترین یال است با طول 5 ، در صورت انتخاب CE دور ایجاد نمی‌شود، پس یال CE به عنوان دومین یال درخت فراگیر انتخاب می‌شود.
	یال بعدی که باید انتخاب شود یال DF می‌باشد با طول 6.
	در این مرحله کوتاه‌ترین یال‌ها AB و BE می‌باشند با طول 7 ، در اینجا یال AB را به طور دلخواه برمی‌گزینیم.یال BD که در تصویر به رنگ قرمز نشان داده شده است، به این معنی است که در انتخاب‌های بعدی نمی‌توان این یال را انتخاب نمود، زیرا انتخاب این یال باعث ایجاد دور(ABD) در درخت فراگیر می‌شود.
	در ادامه، کوتاه‌ترین یال بعدی یعنی BE انتخاب می‌شود با طول 7.در این مرحله یال‌های BC و DE و FE با رنگ قرمز نشان داده شده اند زیرا انتخاب هرکدام موجب ایجاد دور می‌شود.
	سرانجام الگوریتم با انتخاب یال EG با طول 9 پایان می‌پذیرد و درخت پوشای کمینه ایجاد می‌شود.

اثبات

ثابت می‌کنیم هر درخت فراگیر $U$ با یال‌های ${e_1},{e_2},{...},{e_{v-1}}$ که با الگوریتم کروسکال ساخته شود یک درخت بهینه‌است.

از طریق تناقض: به ازای هر درخت فراگیر $T$ از $G$ به غیر از $U$ کوچکترین مقدار $i$ را به طوری که ${e_i}$ در $T$ نباشد با$f(t)$ نمایش می‌دهیم. اکنون فرض کنید که $U$ یک درخت بهینه نباشد و $T$ را به عنوان درخت بهینه در نظر بگیرید که در آن$f(t)$ دارای بزرگترین مقدار ممکن باشد. فرض کنید $f(t)=k$ این بدان معنی است که ${e_{k-1}},{...},{e_2},{e_1}$ هم در $T$ و هم در $U$ هستند. ولی ${e_k}$ در $T$ نیست پس شامل یک دور یکتای $C$ می‌باشد. فرض کنید ${{e^'}_k}$ یالی از $C$ باشد که در $T$ هست ولی در $U$ نیست. پس ${{e^'}_k}$یال برشی ازT+${e_k}$ نیست. بنابراین ${T^'}=(T+{e_k}-{{e^'}_k})$ یک گراف همبند با $v-1$ یال بوده در نتیجه درخت فراگیر دیگری برای $G$ خواهد بود. روشن است که:

$w({T^'})=w(T)+w({e_k})-w({{e^'}_k})$

ولی در الگوریتم کروسکال ${e_k}$ به عنوان یالی با کمترین وزن طوری انتخاب شده‌است که زیرگراف $G$ با یال‌های ${e_k},{...},{e_2},{e_1}$ بدون دور باشد. چون زیرگراف $G$ با یال‌های ${{e^'}_k},{...},{e_2},{e_1}$ زیر گرافی از $T$ است. بنابرین ان هم بدون دور است و نیتجه می‌گیریم که:

$w({{e^'}_k})$ ≥ $w({{e}_k}),$

پس

$w({{T^'}})$ ≤ $w({{T}}),$

پس ${T^'}$ هم یک درخت بهینه خواهد بود در صورتی که داریم:

$f({T^'})>k=f(T)$

که این با $T$ انتخاب در تناقض است. بنابرین $T=U$ و در نتیجه$U$ یک درخت بهینه‌است.

منابع

• نظریه گراف‌ها و کاربردهای آن، جی.ای.باندی و یو.اس.ار.مورتی. مترجم حمید ضرابی زاده، موسسه فرهنگی دیباگران تهران، .۱۳۷۸
• http://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal_algorithm