شیو (حسابان)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
گرادیان
دیورژانس
کرل
عملگر لاپلاس
قضیه گرادیان
قضیه گرین
قضیه استوکس
قضیه دیورژانس

در حسابان بردارها شیو[۱] یا گرادیان یک میدان نرده‌ای، میدانی برداری است که مؤلفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است.

به تعبیر دیگر& برداری که اندازه و جهت حداکثر نرخ فضائی تغییر یک کمیت عددی را نمایش می دهد، گرادیان آن کمیت عددی تعریف می کنیم.

 \nabla f  = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots,  \frac{\partial f}{\partial x_n }  \right)

در حالت خاص برای اسکالر ‎f(x,y,z)‎، گرادیان f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته می‌شود:

\mbox{grad}\,f = {\partial f \over \partial x} \mathbf{i} + {\partial f \over \partial y} \mathbf{j} + {\partial f \over \partial z} \mathbf{k} = \nabla f

تعبیر فیزیکی[ویرایش]

 \nabla \phi برداری است در جهت بیشینه آهنگ تغییر فضایی \phi و همواره بر سطح \phi = cte عمود است. مثلاً گرادیان سرعت برابر نیروی محرکه است.

در دستگاه مختصات مختلف[ویرایش]

در دستگاه مختصات دکارتی (کارتزین) گرادیان برابر است با:

\nabla f(x, y, z) = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}},  
{\frac{\partial f}{\partial y}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix}

و در دستگاه مختصات استوانه‌ای:

\nabla f(\rho, \theta, z) = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial \rho}},  
{\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix}

و در دستگاه مختصات کروی عبارت است از:

\nabla f(r, \theta, \phi) = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial r}},  
{\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, 
{\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}}
\end{pmatrix}

گرادیان روی خمینه مجهّز به متریک ریمانی[ویرایش]

برخی خواص[ویرایش]

اگر f و g دواسکالر باشند، آنگاه گرادیان fg برابر است با:

\nabla(f g) = f \nabla g + g \nabla f

و اگر \vec u و \vec v دو تابع برداری باشند، گرادیان \vec u \cdot \vec v

\nabla (\vec u \cdot \vec v) = (\vec u \cdot \nabla) \vec v + (\vec v \cdot \nabla) \vec u + \vec u \times (\nabla \times \vec v) + \vec v \times (\nabla \times \vec u)

مثال[ویرایش]

به عنوان مثال :

گرادیان f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z) برابر است با:

\nabla f= \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}},  
{\frac{\partial f}{\partial y}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
{2}, 
{6y},
{-\cos(z)}
\end{pmatrix}

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]