شیو (حسابان)

حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه اساسی حسابان حد تابع پیوسته قضیه مقدار میانگین حساب دیفرانسیل  مشتق تغییر متغیر مشتق ضمنی قضیه تیلور کمیت‌های وابسته ‏(en)‏ قواعد مشتق‌گیری ‏(en)‏: قاعده توانی ‏(en)‏ قاعده ضرب قاعده خارج قسمت ‏(en)‏ قاعده زنجیری حساب انتگرال  انتگرال فهرست‌های انتگرال‌ها انتگرال مجازی قواعد انتگرال‌گیری: انتگرال‌گیری جزء به جزء Disk integration ‏(en)‏ Shell integration ‏(en)‏ انتگرال‌گیری با جانشانی ‏(en)‏ جانشانی مثلثاتی کسر جزئی در انتگرال‌ها ‏(en)‏ مرتبه انتگرال‌گیری ‏(en)‏ حساب برداری  گرادیان دیورژانس کرل عملگر لاپلاس قضیه گرادیان قضیه گرین قضیه استوکس قضیه دیورژانس حساب چندمتغیره  حساب ماتریس‌ها مشتق پاره‌ای انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ماتریس ژاکوبی

در حسابان بردارها شیو یا گرادیان یک میدان نرده‌ای، میدانی برداری است که مؤلفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است.

به تعبیر دیگربرداری را که اندازه و جهت حد اکثر نرخ فضائی افزایش یک کمیت عددی را نمایش می دهد؛ گرادیان آن کمیت عددی تعریف می کنیم.

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n } \right).$

در حالت خاص برای اسکالر ‎$f(x,y,z)$‎، گرادیان f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\mbox{grad}\,f = {\partial f \over \partial x} \mathbf{i} + {\partial f \over \partial y} \mathbf{j} + {\partial f \over \partial z} \mathbf{k} = \nabla f$

تعبیر فیزیکی

$\nabla \phi$ برداری است در جهت بیشینه آهنگ تغییر فضایی $\phi$ و همواره بر سطح $\phi = cte$ عمود است.مثلا گرادیان سرعت برابر نیروی محرکه است.

در دستگاه مختصات مختلف

در دستگاه مختصات دکارتی (کارتزین) گرادیان برابر است با:

$\nabla f(x, y, z) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix}$.

و در دستگاه مختصات استوانه‌ای:

$\nabla f(\rho, \theta, z) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial \rho}}, {\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix}$

و در دستگاه مختصات کروی عبارت است از:

$\nabla f(r, \theta, \phi) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial r}}, {\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, {\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}} \end{pmatrix}$

برخی خواص

اگر $f$ و $g$ دواسکالر باشند، آنگاه گرادیان $fg$ برابر است با:

$\nabla(f g) = f \nabla g + g \nabla f$

و اگر $\vec u$ و $\vec v$ دو تابع برداری باشند، گرادیان $\vec u \cdot \vec v$

$\nabla (\vec u \cdot \vec v) = (\vec u \cdot \nabla) \vec v + (\vec v \cdot \nabla) \vec u + \vec u \times (\nabla \times \vec v) + \vec v \times (\nabla \times \vec u)$

مثال

به عنوان مثال :

گرادیان $f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)$ برابر است با:

$\nabla f= \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-\cos(z)} \end{pmatrix}.$

جستارهای وابسته

• عملگر مشتق (دِل)
• واگرایی
• کرل
• لاپلاسین

منبع

• جورج براون آرفکن. روشهای ریاضی در فیزیک. ترجمهٔ اعظم پورقاضی. مرکز نشر دانشگاهی. شابک ‎&#۸۲۰۶;۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲.