دایره واحد

تصویری از دایره‌ای واحد

دایره واحد (پرهون یکا)، دایره‌ای به شعاع واحد است. معمولاً و به خصوص در مثلثات، دایرهٔ واحد دایره‌ای است با شعاعی به طول ۱ که مرکز آن نقطهٔ (۰٫۰) در دستگاه مختصات دکارتی در صفحه اقلیدسی است.

اگر (x٫y) نقطه‌ای بر روی دایره واحد در ربع اول باشد آنگاه x و y طول ضلع‌های مثلث قائمه‌ای با وتری به طول یک هستند؛ بنابراین از قضیه فیثاغورس نتیجه می‌گیریم که x و y در معادلهٔ $x^{2}+y^{2}=1$ صدق می‌کنند. این معادله، معادلهٔ دایره‌ای به شعاع ۱ و مرکز مبدأ مختصات است که هر نقطه‌ای بر روی دایرهٔ واحد در آن صدق می‌کند.

صورت‌های نقاط دایره واحد

• صورت نمایی:

$z=\,\mathrm {e} ^{i\theta }\,$

• صورت مثلثاتی:

$z=\cos(\theta )+i\sin(\theta )\,$

$\theta$ زاویه‌ای است که خط گذرنده از Z و مبدأ مختصات با جهت مثبت محور Xها می‌سازد.

توابع مثلثاتی بر دایرهٔ واحد

نمایش نسبت‌های مثلثاتی در دایره مثلثاتی

جهت مثبت دایره مثلثاتی را مخالف جهت حرکت عقربه‌های ساعت در نظر می‌گیرند.

نقطه‌ای مانند $A$ با مختصات $(\sin \theta ,\cos \theta )$ بر روی محیط دایره در نظر بگیرید (شکل روبرو). طبق تعاریف سینوس و کسینوس می‌دانیم که $\cos(\theta )=x\,\!$ و $\sin(\theta )=y\,\!$. از طرفی برای مثلث قائم‌الزاویه $OAC$ که وتر آن به اندازه یک واحد است، داریم $\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\,\!$ که این رابطه یکی از پایه‌ای‌ترین مفاهیم علم مثلثات است.

با توجه به خواص دایره مثلثاتی و از آنجا که توابع سینوس و کسینوس متناوب هستند خواهیم داشت:

$\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )\,\!$

$\sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )\,\!$

محور های نسبت های مثلثاتی

نمایش محورهای نسبت های مثلثاتی در دایره مثلثاتی

در دایره مثلثاتی با شناخت محور ها و رسم آنها به راحتی می توانیم مقادیر زوایای مختلف و علامت آنها را پیدا کنیم. در دایره مثلثاتی محور طول ها محور کسینوس ها نامیده می شود و محور عرض ها محور سینوس ها. اگر از مبدا دایره مثلثاتی خطی به موازات محور سینوس ها رسم کنیم، این خط محور تانژانت ها نامیده خواهد شد. همچنین اگر به موازات محور کسینوس ها از نقطه ی B در شکل رو به رو خطی به موازات محور کسینوس ها رسم کنیم این محور ، محور تانژانت ها نام دارد. سمت راست محور کسینوس ها و محور کتانژانت ها مثبت و سمت چپ منفی می باشد. اگر زاویه ی مورد نظر را داشته باشیم، و از ضلع انتهایی به این محور ها وصل کنیم، علامت و مقدار آنها مشخص می شود.

جستارهای وابسته

• مثلثات
• تابع مثلثاتی

منابع

• توماس، جورج؛ فینی، راس (۱۳۸۷). حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسهٔ تحلیلی. ج. ۱. ترجمهٔ مهدی بهزاد و دیگران. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۸۰۴۰-۲.
• براون، جیمز وارد؛ چرچیل، روئل ونس (۱۳۹۰). متغیرهای مختلط و کاربردهای آن. ترجمهٔ امیر خسروی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۱۳۳۷-۰.
• جلیل‌الله قراگزلو. مثلثات پایه. تهران:موسسه فرهنگی فاطمی، ۱۳۸۰. ISBN 964-318-054-9