حرکت یک پالس در ریسمانی که دو سر آن ثابت است. مدل نمایش داده شده با استفاده از معادله موج بدست آمده است. معادله موج (Wave equation) معادله‌ای خطی و کلاسیک از نوع معادلات دیفرانسیل هذلولوی پاره‌ای است. در حالت دو بعدی (نسبت به مکان ) معادلهٔ درجهٔ دوم موج به صورت زیر نمایش داده می‌شود:
∂
2
u
∂
t
2
=
c
2
∇
2
u
{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u\!}
که در اینجا
∇
2
=
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
{\displaystyle \nabla ^{2}={\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\!}
عملگر لاپلاس ،
t
{\displaystyle t\!}
زمان ،
u
{\displaystyle u\!}
دامنهٔ موج ، و
c
{\displaystyle c\!}
به عنوان تعمیمی از معادلهٔ خطی موج، می‌توان سرعت را تابعی از دامنه موج گرفت. در این حالت، معادلهٔ غیرخطی موج خواهیم داشت
∂
2
u
∂
t
2
=
c
(
u
)
2
∇
2
u
{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c(u)^{2}\nabla ^{2}u}
امواج کروی صادره از یک منبع نقطه‌ای. (در حالت یک‌بعدی نسبت به‌مکان ) معادلهٔ درجهٔ دوم بالا را می‌توانیم به دو معادله درجه اول موج به‌صورت زیر قسمت کنیم:
[
∂
∂
t
−
c
∂
∂
x
]
[
∂
∂
t
+
c
∂
∂
x
]
u
=
0
{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0}
⇓
{\displaystyle {\Big \Downarrow }}
∂
u
∂
t
−
c
∂
u
∂
x
=
0
and
∂
u
∂
t
+
c
∂
u
∂
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}
در حالت یک بعدی داریم:
∂
2
u
∂
t
2
−
c
2
∂
2
u
∂
x
2
=
0
{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=0\!}
برای حل مسئله ابتدا تغییر متغیر زیر را انجام می‌دهیم:
x
+
c
t
=
ξ
{\displaystyle x+ct=\xi \!}
x
−
c
t
=
η
{\displaystyle x-ct=\eta \!}
به سادگی می‌توان نشان داد که در دستگاه مختصات جدید
ξ
{\displaystyle \xi \!}
η
{\displaystyle \eta \!}
u
ξ
η
=
∂
2
u
∂
ξ
∂
η
=
0
{\displaystyle u_{\xi \eta }={\partial ^{2}u \over \partial \xi \,\partial \eta }=0\!}
که با انتگرال‌گیری ازآن داریم:
u
=
f
(
ξ
)
+
g
(
η
)
{\displaystyle u=f(\xi )+g(\eta )\!}
که در اینجا
f
{\displaystyle f\!}
g
{\displaystyle g\!}
یک جواب معادلهٔ موج می‌تواند به این شکل باشد:
u
(
x
,
t
)
=
A
sin
(
k
x
−
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle u(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\phi )\,}
k
{\displaystyle k}
عدد موج ،
ω
{\displaystyle \omega }
سرعت زاویه‌ای ،
λ
{\displaystyle \lambda }
طول موج ،
ϕ
{\displaystyle \phi }
T
{\displaystyle T}
دوره تناوب و
f
{\displaystyle f}
ω
=
2
π
T
=
2
π
f
,
k
=
2
π
λ
,
c
=
λ
T
{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f\quad ,\quad k={\frac {2\pi }{\lambda }}\quad ,\quad c={\frac {\lambda }{T}}}
جایی که (A(z,t پوشش دامنه‌ای که برای موج داریم و K تعداد موج و
ϕ
{\displaystyle \phi }
v p
v
p
=
ω
k
=
λ
f
,
{\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}=\lambda f,\,}
λ
{\displaystyle \lambda }
Farlow, S. J., Partial Differential Equations for Scientists and Engieers , Dover, New York, 1982
Smoller, J., Shock Waves and Reaction - Diffusion Equations , Springer-Verlag, New York, Inc., 1983. ISBN 0-387-90752-1
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64871fbed80a7f222c71a96de523a60a71bf9a23)
