از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
در آمار ٬ با فرض فرایند تصادفی حقیقی
X
(
t
)
{\displaystyle X(t)}
٬ اتوکوواریانس یا خودهموردایی به صورت کوواریانس متغیر تصادفی با انتقال زمانی یافتهی همان متغیر تعریف میشود.اتوکوواریانس را میتوان معیاری از میزان شباهت سیگنال با انتقالیافتهی خودش دانست. اگر میانگین فرایند ٬برابر
E
[
X
t
]
=
μ
t
{\displaystyle E[X_{t}]=\mu _{t}}
باشد آنگاه اتوکوواریانس میشود:
C
X
X
(
t
,
s
)
=
E
[
(
X
t
−
μ
t
)
(
X
s
−
μ
s
)
]
=
E
[
X
t
X
s
]
−
μ
t
μ
s
.
{\displaystyle C_{XX}(t,s)=E[(X_{t}-\mu _{t})(X_{s}-\mu _{s})]=E[X_{t}X_{s}]-\mu _{t}\mu _{s}.\,}
که در آن
E
{\displaystyle E}
عملگر امید ریاضیست .
اگر فرایند ایستا باشد٬آنگاه برای همهی مقادیر
t
{\displaystyle t}
و
s
{\displaystyle s}
:
μ
t
=
μ
s
=
μ
{\displaystyle \mu _{t}=\mu _{s}=\mu \,}
و
C
X
X
(
t
,
s
)
=
C
X
X
(
s
−
t
)
=
C
X
X
(
τ
)
{\displaystyle C_{XX}(t,s)=C_{XX}(s-t)=C_{XX}(\tau )\,}
که در آن
τ
=
s
−
t
{\displaystyle \tau =s-t\,}
مقدار زمانی است که سیگنال شیفت دادهشدهاست.در نتیجه اتوکواریانس میشود:
C
X
X
(
τ
)
=
E
[
(
X
(
t
)
−
μ
)
(
X
(
t
+
τ
)
−
μ
)
]
{\displaystyle C_{XX}(\tau )=E[(X(t)-\mu )(X(t+\tau )-\mu )]\,}
=
E
[
X
(
t
)
X
(
t
+
τ
)
]
−
μ
2
{\displaystyle =E[X(t)X(t+\tau )]-\mu ^{2}\,}
=
R
X
X
(
τ
)
−
μ
2
,
{\displaystyle =R_{XX}(\tau )-\mu ^{2},\,}
که ٬از دیدگاه پردازش سیگنال ٬
R
X
X
{\displaystyle R_{XX}}
همان خودهمبستگی است.
با تقسیم اتوکواریانس بر واریانس ٬ ضریب خودهمبستگی به دست میآید:
c
X
X
(
τ
)
=
C
X
X
(
τ
)
σ
2
.
{\displaystyle c_{XX}(\tau )={\frac {C_{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}.\,}
[ ۱]
↑ Papoulis، Athanasios. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes . McGraw-Hill.